Многочлены Лежандра, Чебышева и Лапласа (стр. 3 из 4)
Численное преобразование Лапласа - численное выполнение преобразования (6), переводящего оригинал f(t), 0<t<∞в изображение F(p),
, а также численное обращение преобразования Лапласа, т. е. численное нахождение f(t) из интегрального уравнения (6) либо по формуле обращения (8).Необходимость применения численного преобразования Лапласа возникает вследствие того, что таблицы оригиналов и изображений охватывают далеко не все встречающиеся в практике случаи, а также вследствие того, что оригинал или изображение зачастую выражаются слишком сложными, неудобными для применений формулами.
Проблема обращения преобразования Лапласа, как задача отыскания решения f(x) интегрального уравнения первого рода (6), относится к классу некорректных задач и может быть решена, в частности, посредством регуляризирующего алгоритма.
Задачу численного обращения преобразования Лапласа можно также решать методами, основанными на разложении функции-оригинала в функциональный ряд. Сюда в первую очередь можно отнести разложение в степенной ряд, в обобщенный степенной ряд, в ряд по показательным функциям, а также в ряды по ортогональным функциям, в частности по многочленам Чебышева, Лежандра, Якоби и Лагерра. Задача разложения оригинала в ряды по многочленам Чебышева, Лежандра, Якоби в окончательном своем виде сводится к проблеме моментов на конечном промежутке. Пусть известно преобразование Лапласа F(p) функции β(t)f(t):
где f(t) - искомая функция, а β(t) - неотрицательная, интегрируемая на [0,∞) функция. Предполагается, что функция f(t) интегрируема на любом конечном отрезке [0, Т] и принадлежит классу L2(β(t), 0, ∞).По изображению F(р).функции β(t), f(t), функция f(t) строится в виде ряда по смещенным многочленам Якоби, в частности по смещенным многочленам Лежандра, Чебышева первого и второго рода, коэффициенты которого ak вычисляются по формуле.
где
- коэффициенты смещенного многочлена Лежандра, Чебышева первого и второго рода соответственно, записанных в виде 
Другим приемом численного обращения преобразования Лапласа является построение квадратурных формул для интеграла обращения (8).
4. Обращение преобразования Лапласа с помощью многочленов, ортогональных на конечном промежутке
4.1 Постановка задачи
Задачу преобразования Лапласа можно решать методами, основанными на разложении оригинала в ряды по ортогональным функциям, в частности по многочленам Чебышева, Лежандра и Якоби.Эта задача, которая в окончательном своем виде сводится к проблеме моментов на конечном промежутке, была подвергнута изучению в работах многих авторов.
Рассмотрим постановку этой задачи в таком виде, как это сделано в работах В.М. Амербаева и в книге В.А. Диткина и А.П. Прудникова [2].
Пусть известно преобразование Лапласа F(p) функции β(t)f(t):
(10)Где f(t) – искомая функция, а β(t) – неотрицательная, абсолютно интегрируемая на [0,∞) функция. Предположим, что функция f(t) интегрируема на любом конечном отрезке [0, Т] и принадлежит классу L2(β(t), 0, ∞):
(11)Требуется по изображению F(р) функции β(t)f(t), построить функцию f(t).
В интеграле (10) введем замену переменной x=e-t; тогда он приведется к виду
(12)где
В силу условий, которые наложены на функции f(t) и β(t), интеграл (12) сходится всюду в плоскости Rep≥,0, поэтому переменной р можно придать значения 0, 1, 2, … и получить «взвешенные моменты» функции
(13)После этого решаемую задачу можно сформулировать так: найти функцию
по ее «взвешенным моментам» 
, или, что тоже самое, найти функцию f(t) по значениям изображения функции β(t)f(t) в целочисленных точках p = k (k = 0, 1, 2, …). В частном случае эту задачу можно упростить и по первым п + 1 «взвешенным моментам» искать многочлен 
, такой, чтобы его «взвешенные моменты» совпадали с заданными моментами функции , то есть чтобы выполнялись равенства 
(14)4.2.Обращение преобразования Лапласа с помощью смещенных многочленов Лежандра
Рассмотрим частный случай весовой функции
(15) 
или 
. 
Многочленами, ортогональными на отрезке [0,1] с весом
, будут смещены многочлены Лежандра 
Они задаются формулой
при 
или же формулой
Величина rn в этом случае равна
и разложение функции f(t) по смещенным многочленам Лежандра имеет вид
(16)Величины αk вычисляются по формуле
(17)в которой
- коэффициенты смещенного многочлена Лежандра 
4.3. Обращение преобразования Лапласа с помощью смещенных многочленов Чебышева первого рода.
Положим теперь
Весовая функция имеет вид 
и 
Смещенные многочлены Чебышева первого рода
являются ортогональной системой на [0,1] по весу 
Многочлены Якоби
отличаются от только численным множителем, а именно 
,где
Многочлены
имеют вид 
Значения rnвычисляются по формулам
а разложение функции f(t) по смещенным многочленам Чебышева первого рода имеет вид
(18)Коэффициенты ak (k=0, 1, …) вычисляются по формуле (17), в которой
- коэффициенты смещенного многочлена Чебышева первого рода 
.В вычислениях удобнее пользоваться тригонометрической записью многочленов
, а именно: 
Сделав замену переменной 2x – 1 = cosθ (0≤θ≤π) и учитывая, что
разложение (18) можно переписать в виде: 
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Одним из наиболее мощных средств решения дифференциальных уравнений, как обыкновенных, так, особенно, в частных производных, является метод интегральных преобразований.