Основи теорії графів. Властивості ойлерових та гамільтонових графів (стр. 6 из 8)

А ось іще один варіант цієї задачі. В нашій школі є кілька гуртків: C1,C2,…,CN. Кожен із цих гуртків повинен мати старосту.

Для того щоб виключити перевантаження учнів, була поставлена умова, щоб жоден учень не був старостою більш, ніж одного гуртка. За якої умови це можливо?

Зрозуміло, що це можливо не завжди; якщо кількість гуртків в порівняно невеликій школі дужу велика, то це неможливо.

Щоб розв’язати цю задачу, ми знову звернемось до дводольного графа.

В цьому випадку одна множина вершин графа складатиметься із N гуртків,

А інша множина вершин P - це множина всіх учнів школи. Ми проводимо ребро від гуртка С1 до учня р в тому випадку, якщо р є членом С1. При цьому умова різноманітності перетворюється в наступне: кожна група із k гуртків (при k = 1, 2,..., N) повинна включати щонайменше k різних учнів. Згідно вище вказаному - це та умова за якої гуртки можуть мати різних старост.

Якщо кількість гуртків занадто велика, не завжди легко довести спра-ведливість умови різноманітності. Тому поставимо питання: Чи можна вказати яке-небудь просте правило формування гуртків, що гарантує можливість вибо-ру для них різних старост?

Це дійсно можливо. Для того щоб показати, що ми маємо на увазі, припустимо, що кожен гурток складається принаймні з п’яти учнів. Тоді на відповідному графі із кожної вершини множини С буде виходити принаймні 5 ребер. Для групи із k гуртків буде не менше 5k ребер, що виходять із відповідних вершин С до вершин із Р (додаток 2, де k = 4).

Рис.2.13. Граф для вирішення задачі вибору

Тепер, якщо нам буде потрібно, щоб кожен учень брав участь не більше, ніж в п’яти гуртках, це означатиме, що ребра від k гуртків повинні йти при-наймні до k вершин із Р, і, відповідно, умова різноманітності буде виконана.

Ці думки є повністю загальними, тож ми можемо сформулювати наступний результат.

РОЗДІЛ ІІІ ГАМІЛЬТОНОВІ ГРАФИ

3.1 Сутність гамільтонових графів

Ейлерові цикли характеризуються властивістю проходити по одному разу черезкожне ребро графа, а гамільтонові цикли — через кожну вершину.

Назва гамільтонів граф виникла у зв язку з тим , що в 1859 році відомий ірландський математик сер Вільям Гамільтон випустив до продажу своєрідну іграшкову головоломку . ЇЇ основою частиною був правильний додекаедр, зроблений з дерева (рис.3.1). Це один з так званих правильних багатогранників: його граням є 12 правильних п’ятикутників, в кожній з його вершин сходиться три ребра. Кожна з вершин гамільтонового додекаедра була позначена назвою одного з крупних міст Земної кулі –Брюсель, Кантон, Делі, Лондон і так далі. Задача полягає в знаходженні шляху вздовж ребер додекаедра, який проходить через кожне місто в точності один раз. Гамільтонів цикл на додекаедрі не пок-риває, звичайно, всіх ребер додекаедра, бо в кожній вершині він проходить в точності по двох ребрах.

Рис.3.1. Гамільтонів цикл у додекаедрі [4]

3.2 Основні поняття та означення

Означення 3.1.

Зв’язний граф називається гамільтоновим графом , якщо існує замкнений ланцюг, який проходить через кожну вершину графа рівно один раз.

Означення.3.2 .

Зв’язний граф називається напівгамільтоновим , якщо існує ланцюг , який проходить через кожну його вершину рівно один раз.

Не дивлячись на подібність в означеннях ойлерових та гамільтонових графів, відповідно теорії для цих класів графів сильно відрізняються.

До теорії гамільтонових графів відноситься і задача про бродячого тор-говця, або задача про комівояжера.В задачі про бродячого торговця мова йде про деякий район, та торговця , який повинен відвідати певну кількість міст цього району. Відстані між містами відомі, і треба знайти найкоротший шлях , який проходить через всі міста і закінчується в початковому пункті.

Міста можна зображати вершинами деякого графа, в якому кожній парі вершин приписана відстань

. Мова йде про пошук гамільтонового циклу , для якого сума є мінімальною.

Оскільки розглядається скінченне число вершин , то задача розв’язана (при невеликій кількості вершин) шляхом простого перебору. Ефективних алго-ритмів для розв’ язання цієї задачі не створено, хоча цій проблемі присвячено багато досліджень.

Встановлено різні достатні умови гамільтоновості графа . Сформулюємо дві з них.

Теорема 3.1.( О.Оре , 1960).Якщо для будь-якої пари

і несуміжних вершин графа з вершинами має місце нерівніть

(3.1)

то граф

гамільтонів.

Нагадаємо , що

степінь вершини , тобто число ребер , які виходять з вершини .

Доведення.

Будемо доводити від супротивного.Припустимо , що існує негамільтонів граф з

вершинами, в якому для будь-якої пари несуміжних вершин і виконується умова (3.1).Додавання до графа нових ребер не порушує умову (3.1).Позначимо через максимальний негамільтонів граф , тобто таrий граф , приєднання до якого нового ребра перетворює граф на гамільтонів. Вочевидь, не може бути повним графом, бо повний граф гамільтонів. Тому в існує пара несуміжних вершин і . Приєднання до ребра перетворює граф на гамільтонів в силу максимальної негамільтоновості . Таким чином , існує гамільтонів ланцюг. який сполучає і , він проходить через всі вершини ( рисунок 3.2)

Рис. 3.2. Гамільтонів ланцюг (1)

Оточимо кожну з

, які суміжні з , кружечком, і вершину , яка лежить лівіше, квадратиком так, як зображено на рисунку, поданому нижче:

Рис. 3.3. Гамільтонів ланцюг(2)

з цих вершин оточені кружечком;

з цих вершин оточені квардатиком;

- не оточені квадратиком.

Зазначимо , що в силу умови теореми

Звідси випливає , що вершина

суміжна з деякою вершиною, яка оточена квадратиком . Таким чином , виходить , що граф має гамільтонів цикл , зображений на рисунку 3.4

Рис.3.4. Гамільтонів ланцюг(3)

Отже прийшли до суперечності . Теорема доведена.

З теореми 3.1 випливає наступна теорема.

Теорема 3.2 (Г.Дірака, 1952) Якщо для будь-якої вершини

графа з вершинами виконується нерівність , то граф гамільтонів.