Обратимые матрицы над кольцом целых чисел (стр. 5 из 6)
Данную формулу тождественными преобразованиями можно привести к виду:
§3. Обратимые матрицы над кольцом Zn
Из теоремы доказанной в § 1 следует, что для определителей матриц A и B выполняется равенство |A·B|=|A|·|B|.
Для обратимых матриц A и B следует A·B=E.Следовательно |A·B|=|A|·|B|=|E|=1.
Таким образом, получаем: определитель обратимой матрицы является обратимым элементом.
Попытаемся сосчитать количество обратимых матриц над некоторыми кольцами вычетов по составному модулю.
Обратимые матрицы над Z4.
| * | 0 | 1 | 2 | 3 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| 2 | 0 | 2 | 0 | 2 |
| 3 | 0 | 3 | 2 | 1 |
Всего различных матриц второго порядка над Z4: 44=256.
В Z4 обратимыми элементами являются 1и3. Рассмотрим сколько обратимых матриц с определителем равным 1: |A|=ad-bc=1.
Разобьем на следующие варианты:
1. ad=3. Возможные случаи:
1) a=1 Ù d=3,
2) a=3 Ù d=1,
bc=2. Возможные случаи:
1) b=1 Ù c=2,
2) b=2 Ù c=1,
3) b=2 Ù c=3,
4) b=3 Ù c=2.
Получили с данным условием 8 обратимых матриц.
2. ad=2.Возможно 4 случая (см. предыдущий пункт).
bc=1. Возможные случаи:
1) b=c=1,
2) b=c=3.
Получили с данным условием 8 обратимых матриц.
3. ad=1. Возможно 2 случая (см. предыдущий пункт).
bc=0. Возможные случаи:
1) b=0 Ù c=1,
2) b=0 Ù c=2,
3) b=0 Ù c=3,
4) b=1 Ù c=0,
5) b=2 Ù c=0,
6) b=3 Ù c=0,
7) b=c=0,
8) b=c=2.
Получили сданным условием 16 обратимых матриц.
4. ad=0. Возможно 8 случаев (см. предыдущий пункт).
bc=3. Возможно 2 случая (см. первый пункт).
Получили с данным условием 16 обратимых матриц.
Таким образом, по данной классификации получаем 8+8+16+16+16=48 обратимых матриц, определитель которых равен 1. Аналогичную классификацию можно составить для обратимых матриц с определителем равным 3, и число таких матриц будет также равно 48.
Следовательно, из 256 квадратных матриц второго порядка над Z4 обратимыми являются 96.
Обратимые матрицы над Z6.
| * | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 2 | 0 | 2 | 4 | 0 | 2 | 4 |
| 3 | 0 | 3 | 0 | 3 | 0 | 3 |
| 4 | 0 | 4 | 2 | 0 | 4 | 2 |
| 5 | 0 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 |
Всего различных матриц второго порядка над Z6: 64=1296.
В Z6 обратимыми элементами являются 1 и 5. Аналогично рассмотрим, сколько обратимых матриц с определителем равным 1:
|A|=ad-bc=1.
Разобьем на следующие варианты:
1. ad=5. Возможные случаи:
1) a=1 Ù d=5,
2) a=5 Ù d=1,
bc=4. Возможные случаи:
1) b=1 Ù c=4,
2) b=4 Ù c=1,
3) b=2 Ù c=5,
4) b=5 Ù c=2,
5) b=c=2,
6) b=c=4.
Получили с данным условием 12 обратимых матриц.
2. ad=4.Возможно 6 случаев (см. предыдущий пункт).
bc=3. Возможные случаи:
1) b=3 Ù c=1,
2) b=1 Ù c=3,
3) b=3 Ù c=5,
4) b=5 Ù c=3,
5) b=c=3.
Получили с данным условием 30 обратимых матриц.
3. ad=3. Возможно 5 случаев (см. предыдущий пункт).
bc=2. Возможные случаи:
1) b=2 Ù c=1,
2) b=1 Ù c=2,
3) b=2 Ù c=4,
4) b=4 Ù c=2,
5) b=4 Ù c=5,
6) b=5 Ù c=4.
Получили с данным условием 30 обратимых матриц.
4. ad=2. Возможно 6 случаев (см. предыдущий пункт).
bc=1. Возможные случаи:
1) b=c=1,
2) b=c=5.
Получили с данным условием 12 обратимых матриц.
5. ad=1. Возможно 2 случая (см. предыдущий пункт).
bc=0. Возможные случаи:
1) b=0 Ù c=1,
2) b=0 Ù c=2,
3) b=0 Ù c=3,
4) b=0 Ù c=4,
5) b=0 Ù c=5,
6) b=1 Ù c=0,
7) b=2 Ù c=0,
8) b=3 Ù c=0,
9) b=4 Ù c=0,
10) b=5 Ù c=0,
11) b=2 Ù c=3,
12) b=3 Ù c=2,
13) b=3 Ù c=4,
14) b=4 Ù c=3,
15) b=c=0.
Получили с данным условием 30 обратимых матриц.
6. ad=0. Возможно 15 случаев (см. предыдущий пункт).
bc=5. Возможно 2 случая (см. первый пункт).
Получили с данным условием 30 обратимых матриц.
Таким образом по данной классификации получаем 12+30+30+12+30+30=144 обратимых матриц, определитель которых
равен 1. Аналогичную классификацию можно составить для обратимых матриц с определителем равным 5, и число таких матриц будет также равно 144.
Следовательно, из 1296 квадратных матриц второго порядка над Z6 обратимыми являются 288.
Обратимые матрицы над Z8
| * | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 2 | 0 | 2 | 4 | 6 | 0 | 2 | 4 | 6 |
| 3 | 0 | 3 | 6 | 3 | 4 | 7 | 2 | 5 |
| 4 | 0 | 4 | 0 | 4 | 0 | 4 | 0 | 4 |
| 5 | 0 | 5 | 2 | 7 | 4 | 1 | 6 | 3 |
| 6 | 0 | 6 | 4 | 2 | 0 | 6 | 4 | 2 |
| 7 | 0 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 |
Всего различных матриц второго порядка над Z8: 84=4096.
В Z8 обратимыми элементами являются 1, 3, 5 и 7. Аналогично рассмотрим, сколько обратимых матриц с определителем равным 1
|A|=ad-bc=1.
Аналогично предыдущим пунктам будем придерживаться той же классификации:
1. ad=7. Возможно 4 случая.
bc=6. Возможно 8 случаев.
Получили с данным условием 32 обратимых матрицы.
2. ad=6. Возможно 8 случаев.
bc=5. Возможно 4 случая.
Получили с данным условием 32 обратимых матрицы.
3. ad=5. Возможно 4 случая.
bc=4. Возможно 12 случаев.
Получили с данным условием 48 обратимых матриц.
4. ad=4. Возможно 12 случаев.
bc=3. Возможно 4 случая.
Получили с данным условием 48 обратимых матриц.
5. ad=3. Возможно 4 случая.
bc=2. Возможно 8 случаев.
Получили с данным условием 32 обратимых матрицы.
6. ad=2. Возможно 8 случаев.
bc=1. Возможно 4 случая.
Получили с данным условием 32 обратимых матрицы.
7. ad=1.Возможны 4 случая .
bc=0. Возможно 20 случаев.
Получили с данным условием 80 обратимых матриц.
8. ad=0. Возможно 20 случаев.
bc=7. Возможно 4 случая.
Получили с данным условием 80 обратимых матриц.
Таким образом, обратимых матриц, определитель которых
равен 1 —384.
Следовательно, из 4096 квадратных матриц второго порядка над Z8 обратимыми являются 1536.
Обратимые матрицы над Z9
| * | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 2 | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 | 1 | 3 | 5 | 7 |
| 3 | 0 | 3 | 6 | 0 | 3 | 6 | 0 | 3 | 6 |
| 4 | 0 | 4 | 8 | 3 | 7 | 2 | 6 | 1 | 5 |
| 5 | 0 | 5 | 1 | 6 | 2 | 7 | 3 | 8 | 4 |
| 6 | 0 | 6 | 3 | 0 | 6 | 3 | 0 | 6 | 3 |
| 7 | 0 | 7 | 5 | 3 | 1 | 8 | 6 | 4 | 2 |
| 8 | 0 | 8 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 |
Всего различных матриц второго порядка над Z9: 94=6561.
В Z9 обратимыми элементами являются 1, 2, 4, 5, 7 и 8.
1. ad=8. Возможно 6 случаев.
bc=7. Возможно 6 случаев.
Получили с данным условием 36 обратимых матриц.
2. ad=7. Возможно 6 случаев.
bc=6. Возможно 12 случаев.
Получили с данным условием 72 обратимых матриц.
3. ad=6. Возможно 12 случаев.
bc=5. Возможно 6 случаев.
Получили с данным условием 72 обратимых матриц.
4. ad=5. Возможно 6 случаев.
bc=4. Возможно 6 случаев.
Получили с данным условием 36 обратимых матриц.
5. ad=4. Возможно 6 случаев.
bc=3. Возможно 12 случаев.
Получили с данным условием 72 обратимых матриц.
6. ad=3. Возможно 12 случаев.
bc=2. Возможно 6 случаев.
Получили с данным условием 72 обратимых матриц.
7. ad=2. Возможно 6 случаев.
bc=1. Возможно 6 случаев.
Получили с данным условием 36 обратимых матриц.
8. ad=1. Возможно 6 случаев.
bc=0. Возможно 21 случай.
Получили с данным условием 126 обратимых матриц.
9. ad=0. Возможно 21 случай.
bc=8. Возможно 6 случаев.
Получили с данным условием 126 обратимых матриц.
Таким образом, обратимых матриц, определитель которых равен 1 -648.
Следовательно, из 6561 квадратных матриц второго порядка над Z9 обратимыми являются 3888.
Обратимые матрицы над Z10
| * | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 2 | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 |
| 3 | 0 | 3 | 6 | 9 | 2 | 5 | 8 | 1 | 4 | 7 |
| 4 | 0 | 4 | 8 | 2 | 6 | 0 | 4 | 8 | 2 | 6 |
| 5 | 0 | 5 | 0 | 5 | 0 | 5 | 0 | 5 | 0 | 5 |
| 6 | 0 | 6 | 2 | 8 | 4 | 0 | 6 | 2 | 8 | 4 |
| 7 | 0 | 7 | 4 | 1 | 8 | 5 | 2 | 9 | 6 | 3 |
| 8 | 0 | 8 | 6 | 4 | 2 | 0 | 8 | 6 | 4 | 2 |
| 9 | 0 | 9 | 8 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 |
Всего различных матриц второго порядка над Z10: 104=1000.
В Z10 обратимыми элементами являются 1, 3, 7 и 9.