Дослідження лінійно впорядкованого простору ординальних чисел (стр. 3 из 8)

З умови (1) треба існування в множині А найменшому елементі а0.

Розглянемо відображення f: N

A, задане в такий спосіб: f (0) = a0,

f (n + 1) = (f (n))’, де n = 0, 1, 2,…Існування (f (n))’ для кожного n забезпечується умовою (2). Тоді внаслідок умови (3) f(N)=A. Таким чином, f інвективне й сюрективне, отже, взаємно однозначно. Доведемо, що f зберігає порядок: візьмемо n, m

N, нехай для визначеності n < m . З умови (2) треба, що f (n) < (f (n))’ f (m),

тобто f (n) < f (m). Отже, f зберігає порядок.

Таким чином, f – взаємно однозначне відображення N

A, що зберігає порядок. Отже, множина А має порядковий тип .

Нехай є нескінченне лінійно впорядкована множина А, що має порядковий тип . Множина N задовольняє умовам 1) – 3), а множина А ізоморфно йому, тому й множина А задовольняє умовам 1) – 3). :

Визначення 2.5. Порядковим типом

* називається клас лінійно впорядкованих множин, еквівалентних множині N із двоїстим порядком: 1 > 2 > 3 >…

Пропозиція 3.2. упорядкована множина є цілком упорядкованим тоді й тільки тоді, коли воно не містить підмножину типу

*.

Доказ.

Припустимо, що цілком упорядкована множина А містить підмножину Х типу *. Тоді в Х немає найменшого елемента, що суперечить цілком упорядкованості множини А. Отже, в А немає підмножин типу *.

Нехай множина А не містить підмножина типу *. Доведемо, що А є цілком упорядкованою множиною. Припустимо, що це не так, тобто А містить підмножина В, у якому немає найменшого елемента. Візьмемо який-небудь елемент множини В, позначимо його b1. Тому що в У немає найменшого елемента, то існує елемент b2 , для якого b2 < b1. Повторюючи це міркування, будуємо для кожного n N елемент bn+1 B, причому:

bn+1 < bn.

Одержали множину {b1, b2, … , bn, ... . .} яке є підмножиною множини А и має тип

* - протиріччя. :

§4. ВЛАСТИВОСТІ ОРДИНАЛЬНИХ ЧИСЕЛ

Про ізоморфні між собою лінійно впорядковані множини ми будемо говорити, що вони мають той самий порядковий тип.

Із часів Кантора порядкові типи цілком упорядкованих множин називаються порядковими або ординальними числами (ординалами). Порядкові типи нескінченних цілком упорядкованих множин називаються трансфинитными числами (трансфинитами).

Визначення 2.6. Порядкове число

менше порядкового числа ( ), якщо яке-небудь цілком упорядкована множина типу ізоморфно деякому відрізку якого-небудь цілком упорядкованої множини типу .

Нехай

- деяке ординальне число. Позначимо W( ) – множина всіх ординальних чисел, менших .

Теорема 4.1. Відношення

< , установлене для ординальних чисел, перетворює множина W( ) всіх ординальних чисел, менших даного ординального числа , у цілком упорядковану множину типу .

Доказ.

З визначення 2.6 треба, що множина W (

) перебуває у взаємно однозначній відповідності із множиною всіх відрізків Ах довільно обраної множини А типу ; тому що відрізки Ах взаємно однозначно відповідають елементам х А, те маємо взаємно однозначна відповідність = f (х), х А, W( ) між множиною W( ) і множиною А типу . При цьому відповідності з х < x’ в А треба, що Ах є відрізок множини Ах’ , виходить, = f (x) < = f (x’) в W ( ), і обернено. :

Визначення 2.7. Пари (А, В) непустих підмножин лінійно впорядкованої множини Х називається перетином множини Х, якщо:

А

В = Х;

2) А

В = Æ;

3) для будь-яких х

А и в У виконується нерівність х < в.

Теорема 4.2. Для будь-яких двох ординальних чисел

і завжди здійснюється одне й тільки одне із трьох випадків: або < , або = , або > .

Доказ.

Нехай дані два ординальних числа

й . З визначення 2.6 і пропозиції 1.4 треба, що й можуть задовольняти не більш, ніж одному із трьох відносин: = , < , > .

Позначимо через D множина W (

) W ( ). Ця множина є цілком упорядкованим. Позначимо його порядковий тип через . Доведемо нерівності , . Досить довести одне з них. Доведемо, наприклад, перше. Маємо D W ( ). Якщо D = W ( ), тобто порядковий тип множини W ( ), тобто = . Нехай D W ( ). Розбивка W ( ) = D (W( )&bsol;D) є перетин у цілком упорядкованій множині W ( ). Справді, нехай х D, в W ( )&bsol;D. Тому що W ( ) лінійно впорядковане, те або х < y, або в < х. Покажемо, що другий випадок неможливий. Дійсно, тому що х W ( ), х W ( ), те одночасно х < і х < . Якби було в < х, то було б в < , в < , тобто в D. Отже, доведено, що х < у для будь-яких х D, в W ( )&bsol;D, а це й означає, що (D, W ( )&bsol;D) є перетин в W ( ). Нехай < є перший елемент в W ( )&bsol;D. Тоді відрізок, що відтинається в W ( ) елементом , збігається з D, тобто є порядковий тип множини D, = і < .