Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра (стр. 7 из 7)

Учитывая формулу (28), получим

.

Следовательно,

(29)

Из этого соотношения в силу непрерывности функции

на контуре интегрирования и неравенства (28) следует, что

.(30)

Действительно, по (28) функция

не может быть больше ни в одной точке контура интегрирования. Если мы предположим, что в какой-либо точке контура интегрирования функция строго меньше , то из непрерывности следует, что строго меньше и в некоторой окрестности точки , т. е. можно указать отрезок интегрирования, на котором

.

Тогда

что противоречит (29). Итак, соотношение (30) действительно имеет место. Это означает, что на окружности радиуса

с центром в точке функция имеет постоянное значение, равное своему максимальному значению в области . То же будет иметь место и на любой окружности меньшего

радиуса с центром в точке

, а следовательно, и во всем круге . Теперь легко показать, что это же значение функция имеет и в любой другой внутренней точке области . Для этого соединим точки и кривой , целиком лежащей в области и отстоящей от ее границы не меньше чем на некоторое положительное число . Возьмем точку , являющуюся последней общей точкой кривой и круга (Рис. 2). Поскольку , то, повторяя проведенные выше рассуждения, покажем, что внутри круга с центром в точке радиуса модуль функции принимает постоянное значение, равное максимальному значению . Взяв на кривой точку , являющуюся последней общей точкой кривой и круга , и продолжая данный процесс, мы в результате конечного числа шагов получим, что внутри круга , которому принадлежит точка , имеет место равенство , что и доказывает высказанное утверждение.

Итак, мы показали, что если

принимает максимальное значение в некоторой внутренней точке области, то во всей области.

Таким образом, если функция

не является постоянной величиной в области , то она не может достигать своего максимального значения во внутренних точках . Но так как функция, непрерывная в замкнутой области, достигает своего максимального значения в какой-либо точке этой области, то в последнем случае функция должна достигать своего максимального значения в граничных точках.

В качестве последнего замечания отметим, что если аналитическая в области

функция не равна нулю ни в одной точке этой области и непрерывна в , то имеет место принцип минимума модуля этой функции. Для доказательства этого утверждения достаточно рассмотреть функцию и воспользоваться принципом максимума модуля этой функции.

Заключение

Данная работа посвящена теме «Теория и решение интегралов зависящих от параметра».

В ходе работы были выполнены следующие задачи

1. Была подобрана и изучена литература по теме «интегралы, зависящие от параметров»;

2. были изучены интегралы Коши;

3. была рассмотрена аналитическая функция.

В дипломной работе будет обобщен весь теоретический материал собранный и изученный ранее.

интеграл кривая преобразование формула

Список литературы

1) Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: учеб.-практ. Пособие/ Г.Н. Берман. – СПб.: Профессия, 2001.

2) Зорич, В.А. Математический анализ: в 2 т./ В.А. Зорич. – М.: Наука, 1984.

3) Колмогоров, А.Н., Фомин, С.В. Элементы теории функций и функционального анализа/ А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. – М.: Наука, 1976.

4) Ляшко, И. И. Боярчук, А. К. Гай, Я. Г. Головач, Г. П. Математический анализ: в 3 т. Т. 3.Кратные и криволинейные интегралы/ И.И Ляшко, А.К. Боярчук, Я.Г. Гай, Г.П. Головач. – М.: Едиториал УРСС, 2001.

5) Никольский, С.М. Математический анализ: в 2 т./С.М. Никольский. – М.: Наука, 1973.

6) Свешникова, А. Г., Тихонов, А.Н. Курс высшей математики и Математической физики/ А. Г. Свешникова, А.Н.Тихонов. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001.

7) Сидоров, Ю.В., Федорюк, М.В., Шабунин, М.И. Лекции по теории функции комплексного переменного/ Ю.В.Сидоров, М.В. Федорюк, М.И. Шабунин. – М.: Наука, 1989.

8) Соболев, В. И. Лекции по дополнительным главам математического анализа/ В.И. Соболев. – М.: Наука,1968.

9) Фихтенгольц, Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления/ Г.М. Фихтенгольц. – М.:Физматгиз,1962.

10) Шерстнев, А. Н. Конспект лекций по математическому анализу/ А.Н. Шерстнев. – М., 2003.