Функции Бесселя (стр. 2 из 7)

(1.11)

откуда следует, что рассматриваемое разложение может быть записано в виде

(1.12)

Функция

называется производящей функцией для функций Бесселя с целым значком; найденное соотношение (1.12) играет важную роль в теории этих функций.

Для получения общего интеграла уравнения (1.1), дающего выражение произвольной цилиндрической функции с целым значком

, необходимо построить второе решение уравнения, линейно независимое с . В качестве такого решения может быть взята функция Бесселя второго рода, исходя из определения которой нетрудно получить для аналитическое выражение в виде ряда

(1.13)

где

( – постоянная Эйлера) и, в случае , первую из сумм надлежит положить равной нулю.

Функция

регулярна в плоскости с разрезом . Существенная особенность рассматриваемого решения состоит в том, что оно обращается в бесконечность, когда . Общее выражение цилиндрической функции для представляет линейную комбинацию построенных решений

(1.14)

где

и – произвольные постоянные,

2 Функции Бесселя с произвольным значком

бессель цилиндрическая функция

Функции Бесселя, рассмотренные в пункте 1, составляют частный случай цилиндрических функций более общего вида, известных под названием функций Бесселя первого рода с произвольным значком

. Чтобы определить эти функции, рассмотрим ряд

где

– комплексное переменное, принадлежащее плоскости с разрезом

– параметр, который может принимать любые вещественные или комплексные значения.

Легко видеть, что данный ряд сходится при любых

и , причем в области , ( – произвольно большие фиксированные числа) сходимость равномерна по отношению к каждому из переменных.

Действительно, начиная с достаточного большого

, отношение модулей последующего члена ряда к предыдущему, равное величине

не будет превосходить некоторой правильной положительной дроби

, не зависящей от и . Отсюда, согласно известному признаку сходимости, следует, что рассматриваемый ряд сходится равномерно в указанной области [4].

Так как члены ряда представляют собой регулярные функции в плоскости с разрезом

сумма ряда определяет некоторую функцию комплексного переменного , регулярную в рассматриваемой разрезанной плоскости. Эта функция называется функцией Бесселя первого рода с индексом и обозначается символом . Таким образом,

(2.1)

Нетрудно показать, что определенная таким образом функция есть частное решение уравнения

(2.2)

Действительно, обозначая левую часть этого уравнения

и полагая , мы находим, так же как в пункте 1,

где

– коэффициенты ряда (2.1),

откуда следует, что

Так как при фиксированном

, принадлежащем плоскости с разрезом члены ряда (2.1) представляют собой целые функции переменного , то из равномерной сходимости по отношению к этому переменному вытекает, что функция Бесселя первого рода, рассматриваемая как функция своего значка, есть целая функция . При целом и ряд (2.1) переходит в ряд (1.2), поэтому функции, определенные в настоящем параграфе, являются обобщением функций Бесселя с целым положительным значком, изученных в пункте 2. При равном целому отрицательному числу , первые членов ряда (2.1) обращаются в нуль, и рассматриваемая формула может быть записана в виде

откуда следует

(2.3)

Таким образом, функции Бесселя с отрицательным целым значком отличаются от соответствующих функций с положительным значком только постоянным множителем.

Полученное соотношение вместе с формулами (1.10 – 1.11) показывает, что разложение (1.12) может быть записано в виде

(2.4)

Многие равенства, установленные ранее для функций Бесселя с целым положительным значком, переносятся на функции с произвольным индексом без каких-либо изменений. Так, например, имеют место соотношения:

(2.5)

(2.6)

(2.7)