Практическое применение интерполирования гладких функций (стр. 3 из 3)
Если взять в произвольной форме fÎC{m;0}, удовлетворяющее условию (12), то существует «обобщенный» интерполяционный полином и он единственен.
Доказательство:
Найдем интерполяционный полином в стандартном виде:
(13)
Затем, учитывая (13) для того, чтобы найти коэффициенты
( 
), приходим к следующей алгебраической системе:(14)
Эту систему упорядочим в матрицу S, являющуюся прямой суммой двух квадратных матриц размерностью m и n+1.
Здесь
Значит, основываясь на фактах линейной алгебры, определяем
Что и требовалось доказать.
Сейчас поставим перед собой цель записать многочлен G(x) в явном виде. Будет полезно рассмотреть стандартный вид многочлена Лагранжа. Из (13) видно, что
Поэтому имеет место следующее:
(14)
Возьмем параметры из (13):
(15)
Таким образом, из (13), (14), (15) следует, что
(16)
Замечание 3:
Если m=0, C{0;0}
C[-1;1], 
( 
). Значит, рассмотрев функцию 
в задаче (11) приводится к обычной интерполяционной задаче, а многочлен Лагранжа (16) превращается в обычный интерполяционный многочлен. Таким образом, задача (11), действительно, в значении одного определения становится обобщенной задачей интерполирования.Сейчас поговорим о погрешности обобщенной интерполяции.
В этом случае
нужно дать оценку побольше. Выше приведены размышления и следствия, полученные в целях определения одной системы функций. 
.Теорема 3.
Если
Здесь
Доказательство:
Приняв во внимание (16) получаем
(17)
Следующие приведения к формуле теоремы легко доказываются из (17) и теоремы 1.
Следствие 2.
Пусть
В это время:
2.2 Важное представление гладкой функции
Теорема 4.
Верна следующая связь:
(18)
Вдобавок
(19)
Доказательство:
Пусть
. По (19) получим 
в последовательной форме используем метод интегрирования по частям, и изменяем его: 
Отсюда выходит следующее неравенство:
(20)
называют формулой Тейлора с остаточным членом в интегральной форме. 
Возьмем некоторую функцию 
, чтобы равенство (18) было правильным 
. При рассмотрении второго слагаемого полинома, достаточно показать что Î С(m).При изучении производной
полезно использовать дифференцирование интеграла, зависящего от параметра. Эта формула в математическом анализе очень известна и определяет следующее:(21)
здесь
вдобавок 
Таким образом, находим в нашем случае необходимый вид:
Значит
.Замечание 6.
Рассмотрев, оператор
из последнего размышления вытекает полезное рассуждение:(22)
Заключение
Мы убедились, что в вычислительной математике существенную роль играет интерполяция функций, значения которой совпадают со значениями заданной функции в некотором числе точек.
В данной курсовой работе рассматривается интерполирование функции полиномами, непосредственно непрерывных функций на отрезке и в точке, определили понятие погрешности интерполяции.
У нас возникла задача о восстановлении непрерывной функции по ее табличным значениям, поэтому в данной работе были приведены конкретные примеры по построению интерполяционного полинома Лагранжа, по оцениванию погрешности интерполяционного полинома.
В нашем случае для более полного раскрытия данной темы подробно проиллюстрировано само понятие интерполяции, далее интерполирование непосредственно гладкой функции и интерполирование гладкой функции в точке.
Список использованной литературы
1. Н.С.Габбасов. Некоторые применения производной. Наб.Челны, 1998г.
2. Я.С.Бугров, С.М.Никольский. Дифференциальное и интегральное исчисление. М.: «Наука», 1984г.
3. С.М.Никольский. Курс математического анализа. М.: «Наука», 1990г.
4. Л.Д.Кудрявцев. Краткий курс математического анализа. М.: «Наука», 1989г.
5. И.А.Марон. Дифференциальное и интегральное исчисление. М.: «Наука», 1970г.
6. А.А.Самарский. Введение в численные методы. М.: «Наука», 1987.
[1] Здесь Hn – это множество всех алгебраических многочленов степени n.
[2] На непрерывном отрезке и в точке
обозначили множество функции, имеющей производную по Тейлору m-го порядка. 
(естественно, 
Верно следующее соответствие:
здесь