Теорема Силова (стр. 5 из 10)

п.2. Рассмотрим конструкцию, позволяющую по заданным группам строить новые группы. Одна из самых простых, но важных конструкций состоит в следующем.

Пусть A, B – группы, легко проверить, что множество

всех упорядоченных пар (a, b)где , с бинарной операцией является группой. Она называется прямымпроизведением (внешним) групп A и B.При аддитивной записи групп, естественно говорить о прямой сумме .

Теорема 1.4.5. Пусть G– группа с нормальными подгруппами A иB. Если

и AB=G, то .

Доказательство.Из равенства AB=G следует, что любой элемент

записывается в виде g=ab, где . Пусть ещё G=a₁b₁, . Тогда , и . Следовательно, и мы пришли к выводу, что запись однозначна.

Далее, так как

то коммутатор ; так как , то , то есть, получаем и, стало быть .

Определим теперь отображение φ из

. Полагая для любого . Проверим закон сохранения операции. Согласно выше сказанному:

Это отображение является сюрьективным, ибо G=AB. Более того, отображение φ является взаимно однозначным так как если ab=a₁b₁ при

, то, как это мы показали, выше a₁=a, b₁=b и, следовательно, таким образом φ – удовлетворяет всем свойствам изоморфного отображения групп. ■

Группу G, удовлетворяющую условиям теоремы 1.4.5 принято называть (внутренним) прямым произведением своих подгрупп A, B. Отличие от внешнего прямого произведения состоит в том, что G содержит в качестве прямых множителей сами группыA, B, а не просто их изоморфные копии

, .

Последние определение прямого произведения (внутреннего). Можно заменить следующим ему эквивалентным. Группа Gесть прямое произведение своих подгрупп

, если

1) Элементы из любых двух подгрупп H_i и H_j,

, перестановочны между собой.

2) Всякий элемент g и G однозначно записываются в виде произведения

где ,

1.5 Теоремы о гомоморфизмах

Пусть G– группа и P– другая группа. Пусть каждому элементу aÎG сопоставлен некоторый элемент из S, то есть, дано отображение G и S. Отображение φ называется гомоморфным или гомоморфизмом G в S, если произведение элементов из Gсоответствует произведение их образов, то есть

φ(a₁a₂)=φ(a₁)φ(a₂), где φ(a) – образ aÎG при отображение φ.

Предложение 1.5.1.Гомоморфным образом φ(G) группы G является группой. Образом единицы группы G является единица образа, и взаимно обратным элементом G соответствуют взаимно обратные образы.

Доказательство.φ(ab)=φ(a)φ(b) означает, что произведение двух элементов из φ(G)Îφ(G). Ассоциативность следует из ассоциативности в G и S. Равенство φ(a)=φ(1a)=φ(1)φ(a) показывает, что φ(1) есть левая единица для φ(G).А φ(а^–1)φ(а)=φ(а^–1а)=φ(1) показывает, что φ(а^–1) есть левый обратный элемент для φ(а) в φ(G). Это достаточно для заключения, что φ(G) есть группа (так как φ(а)=φ(а 1)=φ(а)φ(1) и φ(а)φ(а^–1)=φ(аа^–1)=φ(1)). ■

Гомоморфизм G в S, при котором различным элементам из G сопоставляется различные элементы в S.

Всякое изоморфное отображение группы G на себя называется автоморфизмом. Если в группе G выбран некоторый элемент а, то отображение, переводящее всякий элемент х этой группы в элемент

а^–1ха, то есть трансформирование всей группы элементов а, будет автоморфизмом группы G. Действительно, из а^–1ха=а^–1ya следует x=y, то есть отображение взаимно однозначно. Равенство х=а^–1(аха^–1)а

показывает, что при этом отображении всякий элемент группы будет образом некоторого элемента. Из соотношения a^–1xa·a^–1ya=a^–1(xy)a

следует изоморфизм рассматриваемого отображения. Такой автоморфизм группы G называется её внутренним автоморфизмом.

Пусть φ – гомоморфное отображение группы G на группу S. Множество всех элементов из G, имеющих один и тот же образ хÎS, называется полным прообразом элемента х и обозначается φ^–1(х). Полный прообраз единицы группы S называется ядром гомоморфизма.

Предложение 1.5.2. Ядро гомоморфизма φ группы G на группу S является нормальной подгруппой группы G.

Доказательство. Введем обозначение H для ядра. ЕслиaÎH, то

a^–1ÎH, ибо

φ(a^–1)=(φ(a))^–1=1. ЕслиaÎHиbÎH, тоabÎH, ибоφ(ab)=φ(a)φ(b)=1·1=1. Наконец, если aÎH и cÎG, то c^–1acÎH, ибо

φ(c^–1ac)=φ(c)^–1φ(a)φ(c)=φ(c)^–11φ(c)=1. ■

Предложение 1.5.3.В условиях предложения 1.5.2. полные прообразы элементов из S является классами смежности по ядру гомоморфизма.

Доказательство. Если a и b принадлежат одному классу смежности по H, то b=za при zÎH, тогда φ(b)=φ(z)·φ(a)=1·φ(a)=φ(a). Обратно, если φ(a)=φ(b), то φ(ab^-1)=1, так что ab^-1ÎH, aÎHb и bÎHb. ■

Теорема 1.5.4.(первая теорема о гомоморфизме) Гомоморфный образ группы изоморфен её факторгруппе по ядру гомоморфизма.

Доказательство. Между образами при гомоморфизме и элементами факторгруппы имеется взаимно однозначное соответствие, в силу предложения 1.5.3. Оно сохраняется при умножении, ибо

φ((Ha)·(Hb))=φ(Ha)·φ(Hb).

Остается доказать любая ли нормальная подгруппа может быть принята за ядро гомоморфизма. Ответ положительный, так как отображение группы G на факторгруппу G/Hпо нормальной подгруппе H, заключающиеся в том, что каждому элементу группы Gсопоставляется содержащий его класс смежности, есть гомоморфизм, и его ядро совпадает с H (это следует из определения умножение классов смежности как элементов факторгруппы). ■