Полином Жегалкина (стр. 1 из 2)

Уфимский государственный авиационный технический университет

Кафедра АПРиС

Курсовая работа

по дискретной математике

«Полином Жегалкина»

Выполнили:

Проверила:

Шерыхалина Н.М.

Уфа – 2008

Оглавление

Цель работы

Введение

Теоретическая часть

Алгоритм

Блок-схемы

Листинг программы

Тестирование программы

Заключение

Список использованной литературы:

Цель работы

Целью данной работы является изучение булевых функций, разработка алгоритма их представления в виде полинома Жегалкина и написания программы, реализующей этот алгоритм.

Введение

В курсе дискретной математики изучаются функции, область определения которых – дискретное множество. Простейшим (но нетривиальным) таким множеством является множество, состоящее из двух элементов.

Теоретическая часть

Полнота и замкнутость

Определение 1:Система функций

из P2 (множества всех булевых функций) называется функционально полной, если любая булева функция может быть записана в виде формулы через функции этой системы.

Пример:

1) Само множество

;

2)

;

3)

- не полна.

Теорема 1. Пусть даны две системы функций из

, (I)

. (II)

Известно, что система I полная и каждая функция системы I выражается через функции системы II. Тогда система II является полной.

Доказательство: Пусть

. В силу полноты системы I , функцию h можно выразить в виде формулы .

По условию теоремы

Поэтому

ч. т. д.

Примеры:

1)

- полная.

2)

- тоже полная, так как .

3)

- тоже полная.

4)

- тоже полная, так как

,

,

. ((2) – I)

5)

- неполная.

Докажем это от противного.

Предположим, что

.

Но

.

Противоречие.

6)

- неполная (сохраняет константу 0).

6’)

- полная.

7)

- неполная (сохраняет константу 1).

8)

тогда взяв в качестве системы I систему 2) можно заключить, система функций 8) – полная. Тем самым, справедлива

Теорема Жегалкина. Каждая функция из

может быть выражена при помощи полинома по модулю 2 – (полинома Жегалкина):

,

где

. (1)

Имеем: число разных сочетаний

равно числу подмножеств множества из n элементов. Каждое aik может принимать одно из 2-х значений {0,1}. Тогда число разных полиномов Жегалкина равно , т.е. равно числу различных булевых функций.

Т. о. получаем единственность представления функций через полином Жегалкина.

Способы представления функции в виде полинома Жегалкина

1) Алгебраические преобразования

.

Пример:

2) Метод неопределенных коэффициентов

- искомый полином Жегалкина (реализующий функцию ).

Вектор

из формулы (1) будем называть вектором коэффициентов полинома .

Нам нужно найти неизвестные коэффициенты

.

Поступаем так. Для каждого составим

уравнение , где - выражение, получаемое из (1) при . Это дает систему из уравнений с неизвестными, она имеет единственное решение. Решив систему, находим коэффициенты полинома .

3) Метод, базирующийся на преобразовании вектора значения функции

Пусть

- вектор значений функции.

Разбиваем вектор

на двумерные наборы:

.

Операция T определена следующим образом:

.

Применяем операцию Т к двумерным наборам:

Используя построенные наборы, конструируем четырехмерные наборы, которые получаются в результате применения операции Т к четырехмерным наборам, выделяемым из

.

Затем от четырехмерных наборов переходим (аналогично) к восьмимерным и т.д., пока не построим

- мерный набор. Он и будет искомым вектором коэффициентов полинома .

Пример:

Пусть вектор значений функций

= (0,0,0,1,0,1,1,1)

Полученный вектор является искомым векторов коэффициентов полинома

.

Определение 2: Пусть M – некоторое подмножество функций из P2. Замыканием M называется множество всех булевых функций, представимых в виде формул через функции множества M. Обозначается [M].

Замечание. Замыкание инвариантно относительно операций введения и удаления фиктивных переменных.

Примеры.

1) M=P2, [M]=P2.

2) M={1,x1Åx2}, [M] – множество L всех линейных функций вида

, (ciÎ{0,1}).

Свойства замыкания:

1) Если М замкнуто, то [M]=M;

2) [[M]]=[M];

3) M1ÍM2 Þ [M1]Í[M2];

4) [M1ÈM2]Ê[M1]È[M1].

Определение 3. Класс (множество) M называется (функционально) замкнутым, если [M]=M.

Примеры.

1) Класс M=P2 функционально замкнут;

2) Класс {1,x1Åx2} не замкнут;

3) Класс L замкнут (линейное выражение, составленное из линейных выражений линейно).

Новое определение полноты. M – полная система, если [M]=P2.

Алгоритм

булевой функция полином жигалкин

В данной программе был реализован метод неопределенных коэффициентов для построения полинома Жегалкина.

1. Получить таблицу истинности для определенного количества переменных;

2. Заполнить значения функции для каждого из наборов таблицы истинности;

3. Последовательно вычислить неизвестные коэффициенты;

4. Записать функцию в виде полинома Жегалкина с вычисленными коэффициентами.