Приближенное решение интегрального уравнения (стр. 1 из 4)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени академика С. П. Королева

Кафедра высшей математики

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

к курсовой работе по уравнениям математической физики

САМАРА 2009г.

Реферат

Курсовая работа: пояснительная записка, 30 страниц,8 рисунков, 3 источника, 6 таблиц.

Ключевые слова: МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ, МЕТОД ЦЕНТРАЛЬНЫХ РАЗНОСТЕЙ, МЕТОД ПРОГОНКИ, МЕТОД ГАЛЕРКИНА, МЕТОД КОЛЛОКАЦИИ, МЕТОД РИТЦА, МЕТОД ЛИБМАНА, ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ, МЕТОД СЕТОК, ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ, УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ, ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ.

В данной работе требуется с помощью методов конечно-разностных, центрально-разностных отношений и метода прогонки найти приближенное решение линейного дифференциального уравнения второго порядка. Сравнить результаты и сделать выводы.

Необходимо найти приближенное решение линейного дифференциального уравнения второго порядка с помощью методов Галеркина, Ритца и коллокации. Сравнить результаты, построив графики.

Нужно с помощью метода Либмана отыскать приближенное решение задачи Дирихле в квадрате.

Требуется методом сеток найти приближенное решение первой смешанной задачи для уравнения теплопроводности и для волнового уравнения. Сравнить результаты с аналитическим решением.

Нужно найти приближенное решение интегрального уравнения.

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

I. РЕШЕНИЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ

II. МЕТОДЫ ГАЛЕРКИНА, РИТЦА И КОЛЛОКАЦИЙ

III.РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ1

IV. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ПЕРВОЙ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ НА ОТРЕЗКЕ

V. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ПЕРВОЙ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ НА ОТРЕЗКЕ

VI. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

ВВЕДЕНИЕ

В данной работе требуется с помощью методов конечно-разностных, центрально-разностных отношений и метода прогонки найти приближенное решение линейного дифференциального уравнения второго порядка. Сравнить результаты и сделать выводы.

Необходимо найти приближенное решение линейного дифференциального уравнения второго порядка с помощью методов Галеркина, Ритца и коллокации. Сравнить результаты, построив графики.

Нужно с помощью метода Либмана отыскать приближенное решение задачи Дирихле в квадрате.

Требуется методом сеток найти приближенное решение первой смешанной задачи для уравнения теплопроводности и для волнового уравнения. Сравнить результаты с аналитическим решением.

Нужно найти приближенное решение интегрального уравнения.

I. РЕШЕНИЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ

Пусть дано дифференциальное уравнение второго порядка

, (1)

где функция

задана таблично

i	fi(x)
0	8,1548
1	6,8925
2	5,8327
3	4,9907
4	4,3818
5	4,0188
6	3,9098
7	4,0581
8	4,4615
9	5,1129
10	6

Будем искать решение уравнения (1), удовлетворяющее следующим краевым условиям

(2)

Запишем таблицу значений функций

i
0	0	0	0
1	0,1	-0,2	0,03
2	0,2	-0,4	0,12
3	0,3	-0,6	0,27
4	0,4	-0,8	0,48
5	0,5	-1	0,75
6	0,6	-1,2	1,08
7	0,7	-1,4	1,47
8	0,8	-1,6	1,92
9	0,9	-1,8	2,43
10	1	-2	3

1. Метод конечных разностей для линейных дифференциальных уравнений второго порядка.

1. Пусть

и значения и в каждом узле можно записать конечно-разностными отношениями

(3)

тогда, используя (3), заменим уравнения (1), (2) системой

(4)

Решая систему (4), получим

2. Пусть

тогда, используя (3), заменим уравнения (1), (2) системой:

(5)

Решая систему (5), получим

2. Метод центральных разностей для линейных дифференциальных уравнений второго порядка.

1. Пусть

и значения и в каждом узле можно записать центрально-разностными отношениями

(6)

тогда, используя (6), заменим уравнения (1), (2) системой:

(7)

Решая систему (7), получим:

2. Пусть

, тогда, используя (6), заменим уравнения (1), (2) системой:

(8)

Решая систему (8), получим

Рис.1-

- решение, полученное с помощью метода конечных разностей (h=0,1), - решение, полученное с помощью метода центральных разностей (h=0,1), - точное решение

Рис.2-

- решение, полученное с помощью метода конечных разностей (h=0,2), - решение , полученное с помощью метода центральных разностей (h=0,2) -точное решение

Рис.3- Общий график решений

3. Метод прогонки для линейных дифференциальных уравнений второго порядка.

Конечно-разностные отношения в методе прогонки.

1. Пусть

и значения и в каждом узле можно записать конечно-разностными отношениями:

(9)

тогда, используя (20), заменим уравнения (1), (2), (3) системой:

(10)

Запишем первые n-1 уравнений в виде:

, где (11)

Из системы (21) следует, что

(12)

, вычисляются последовательно, но при i=0:

(13)

Остальные

, вычисляются по формуле:

(14)

Прямой ход вычислений.

По формулам (11) вычисляем

. Далее вычисляем по формулам (13) и по рекуррентным формулам (14) находим .

Обратный ход.

Из уравнения (12) при i=n-2 и из последнего уравнения системы (10) получаем: