Похідні та диференціали функції багатьох змінних (стр. 2 из 4)

.

Функція

називається диференційовною в точці М, якщо її повний приріст в цій точці можна подати у вигляді

, (1)

де

та – дійсні числа, які не залежать від та , – нескінченно малі при і функції.

Відомо, що коли функція однієї змінної диференційовна в деякій точці, то вона в цій точці неперервна і має похідну. Перенесемо ці властивості на функції двох змінних.

Теорема 1 (неперервність диференційовної функції).

Якщо функція

диференційовна в точці М, то вона неперервна в цій точці.

Доведення

Якщо функція диференційовна в точці М, то з рівності (1) випливає, що

. Це означає, що функція неперервна в точці М.

Теорема 2 (існування частинних похідних диференційовної функції). Якщо функція

диференційовна в точці , то вона має в цій точці похідні та і .

Доведення

Оскільки

диференційовна в точці ,то справджується рівність (1). Поклавши в ній , отримаємо,

.

Поділимо обидві частини цієї рівності на

і перейдемо до границі при :

.

Отже, в точці

існує частинна похідна . Аналогічно доводиться, що в точці існує частинна похідна .

Твердження, обернені до теорем 1 і 2, взагалі кажучи, неправильні, тобто із неперервності функції

або існування її частинних похідних ще не випливає диференційовність. Наприклад, функція неперервна в точці , але не диференційовна в цій точці. Справді, границі

не існує, тому не існує й похідної

. Аналогічно впевнюємося, що не існує також похідної . Оскільки задана функція в точці не має частинних похідних, то вона в цій точці не диференційовна.

Більш того, відомо приклади функцій, які є неперервними в деяких точках і мають в них частинні похідні, але не є в цих точках диференційовними.

Теорема 3 (достатні умови диференційовності ).

Якщо функція

має частинні похідні в деякому околі точки і ці похідні неперервні в точці М, то функція диференційовна в точці М.

Доведення

Надамо змінним x і

приростів , таких, щоб точка належала даному околу точки . Повний приріст функції запишемо у вигляді

. (2)

Вираз у перших квадратних дужках рівності (2) можна розглядати як приріст функції однієї змінної x, а в других – як приріст функції змінної

. Оскільки дана функція має частинні похідні, то за теоремою Лагранжа отримаємо:

.

Похідні

та неперервні в точці М, тому

,

.

Звідси випливає, що

,

,

де

, – нескінченно малі функції при і .

Підставляючи ці вирази у рівність (2), знаходимо

, а це й означає, що функція диференційовна в точці .

З теорем 2 і 3 випливає такий наслідок: щоб функція

була диференційовною в точці, необхідно, щоб вона мала в цій точці частинні похідні, і достатньо, щоб вона мала в цій точці неперервні частинні похідні.

Зазначимо, що для функції

однієї змінної існування похідної в точці є необхідною і достатньою умовою її диференційовності в цій точці.

3 Повний диференціал функції та його застосування до обчислення функцій і похибок. Диференціали вищих порядків

Нагадаємо, що коли функція

диференційовна в точці , то її повний приріст у цій точці можна подати у вигляді

,

де

і при .

Повним диференціалом

диференційовної в точці функції називається лінійна відносно та частина повного приросту цієї функції в точці M, тобто

. (3)

Диференціалами незалежних змінних x та

назвемо прирости цих змінних . Тоді з урахуванням теореми 2 рівність (3) можна записати так: