Використання можливостей системи Wolfram Mathematica при вивчені математичного аналізу (стр. 4 из 5)
Ці приклади наочно показують, що обчислення первісних в системі може дати результати, далекі від тривіального обчислення невизначених інтегралів, приведених у звичайних довідниках з математики.До речі, і при обчисленні тривіальних інтегралів результат може бути іншим, ніж у довідниках, із-за різних перетворень, застосованих для отримання кінцевих формул.Часом можуть знадобитися певні зусилля для отримання результату в заданій формі.Як підінтегральний вираз, так і результати обчислень можуть містити як елементарні, так і спеціальні математичні функції.
Необхідно зазначити, що результати символьного інтегрування в системах Mathematica різних версій нерідко різняться. Більше того, вони можуть різнитися і в межах однієї версії Mathematica, так як ядро системи постійно вдосконалюється.Звичайно більш пізні версії дають більш точні результати обчислень особливих інтегралів, хоча часом вони і виглядають більш складними і навіть незвичайними.Це говорить про необхідність вдумливо ставитися до одержуваних результатів.
Для обчислення чисельних значень визначених інтегралів використовується функція NIntegrate [f, {x, xmin, xmax}], яка повертає чисельне наближення інтеграла від функції f по змінній х в межах відxminдо xmax.
Вона має ряд опцій, які можна отримати, виконавши команду Options [Nlntegrate]. Наведемо приклади чисельного інтегрування (рис. 2.3.5).
Ці приклади показують, що функція NIntegrate з успіхом може застосовуватися для обчислення як однократних, так і багатократних визначених інтегралів, в тому числі зі змінними межами.
4. Побудова графіків на площині
У відношенні графіки система Mathematica є лідером серед систем комп'ютерної алгебри. Велика кількість опцій дозволяє оформляти графічні образи практично в будь-якому бажаному вигляді.
Графіки в системі Mathematica є об'єктами і тому вони можуть бути значеннями змінних.
Почнемо розгляд графічних можливостей системи з побудови найпростіших графіків функцій однієї змінної виду у = f (x) або просто f (x).Графік таких функцій будується на площині, тобто в двовимірному просторі.При цьому використовується прямокутна (декартова) система координат.За замовчуванням будуються і лінії координатної системи.
Для побудови двовимірних графіків функцій виду f(x) використовується вбудована в ядро функція Plot:
Plot [f, {x, xmin, xmax}] – повертає об'єкт, що представляє собою графік функції f аргументу х в інтервалі від xmin до xmax;
Plot [{f1, f2 ,...}, {x, xmin, xmax}] – повертає об'єкт у вигляді графіків ряду функцій fi.
Функція Plot використовується для побудови однієї або кількох ліній, що дають графічне представлення для зазначених функцій f, f1, f2 і т. д. Приклади застосування функції Plot показані на рис.2.4.1.Зауважимо, що графіки побудовані без використання будь-яких опцій (точніше, з набором опцій за замовчуванням).
Рис.2.4.1.Приклади Побудови графіків на площині
В міру ускладнення задач користувачеві рано чи пізно перестануть влаштовувати графіки, одержувані при автоматичному виборі їх стилю та інших параметрів.Для точного налаштування графіків Mathematica використовує спеціальні опції графічних функцій.Для виведення їх списку треба використовувати команду Options [Plot].
Ще одним важливим засобом настроювання графіків є графічні директиви.Синтаксис їх подібний синтаксису функцій.Однак директиви не повертають об'єктів, а лише впливають на їх характеристики.Застосування графічних директив спільно з опціями дозволяє створювати графіки самого різного виду. Так як список опцій і директив дуже великий, то не будемо на ньому зупинятися.
Також часто виникає необхідність побудови графіка по точках.Це забезпечує вбудована в ядро графічна функція ListPlot:
• ListPlot [{yl, у2 ,...}] – виводить графік списку величин.Координати х приймають значення 1, 2, ...;
• ListPlot [{{x1, y1}, {х2, у2 },...}]– виводить графік списку величин з зазначеними х і y координатами.
У найпростішому випадку (рис. 2.4.2) ця функція сама задає значення координати х = 0, 1, 2, 3, ...і будує на графіку точки з координатами (х, у), вибираючи у послідовно зі списку координат. Функція ListPlot, особливо в її другій формі (із заданими координатами х і у), зручна для виведення на графік експериментальних точок.
Система Mathematica також дозволяє будувати графіки функцій в полярній системі координат. Побудова графіків в полярній системі координат можливо двома способами.Перший спосіб ґрунтується на використанні звичайної декартової системи координат.Координати кожної точки при цьому задаються в параметричному вигляді: x = f x(t) і у = f у(t), де незалежна змінна t змінюється від мінімального значення tmin до максимального tmах. Особливо зручне застосування таких функцій для побудови замкнутих ліній, таких як кола, еліпси, циклоїди і т. д.
Рис.2.4.2.Приклад Побудови графіка по точках
Для побудови параметрично заданих функцій використовуються наступні графічні засоби:
• ParametricPlot [{fx, fy}, {t, tmin, tmax}] – будує параметричний графік з координатами fх і fу (відповідними х і у), одержуваними як функції від t;
• ParametricPlot [{{fx, fy}, {gx, gy },...}, {t, tmin, tmax}] – будує графіки декількох параметричних кривих.
Функції fx, fу можуть бути як безпосередньо вписані в список параметрів, так і визначені як функції користувача.
Рисунок 2.4.3 показує побудову параметрично заданої фігури Ліссажу.Вона задається функціями синуса і косинуса з постійним параметром R і аргументами, кратними t.
Тепер розглянемо другий спосіб побудови графіків в полярній системі координат (рис. 2.4.4).Для цього використовується функція PolarPlot:
PolarPlot [f, {t, tmin, tmax}] – будує графік в полярній системі координат.
PolarPlot [{f1, f2, f3, ...}, {t, tmin, tmax}] – будує графіки функцій в полярній системі координат.
Рис.2.4.3.Побудова фігури Ліссажу
Рис.2.4.4.Приклад побудови графіка функції в полярній системі координат
5. Побудова графіків поверхонь
Функція двох змінних z = f (x, у) утворює в просторі деяку тривимірну поверхню або фігуру.Для їх побудови доводиться використовувати координатну систему з трьома осями координат: x, у і z.Оскільки екран дисплея плоский, то насправді об'ємність фігур лише імітується.
Для побудови графіків тривимірних поверхонь в системі Mathematica використовується основна графічна функція Plot3D:
• Plot3D [f, {x, xmin, xmax}, {у, ymin, ymax}] – будує тривимірний графік функції f (х, у);
• Plot3D [{f, s}, {x, xmin, xmax}, {y, ymin, ymax}] – будує тривимірний графік, в якому висоту поверхні визначає параметр f, а затінення - параметр s.
На рис.2.5.1 показаний приклад побудови поверхні, що описується функцією двох змінних cos (xу) при х і у, що міняються від -3 до 3.Поверхня будується у вигляді каркасу з прямокутними комірками з використанням функціонального забарвлення.Всі опції задані за замовчуванням.
Рис.2.5.1.Приклад побудови поверхні
Поверхні, також як і графіки на площині, можна будувати по точкам та в параметричній формі використовуючи при цьому відповідні функції ListPointPlot3D і ParametricPlot3D.
Для модифікації тривимірних графіків можуть використовуватися численні опції та директиви.Їх застосування дозволяє будувати велику кількість графіків різних типів навіть при завданні однієї і тієї ж поверхні.
6. Розкладання функцій в ряди Тейлора і Маклорена
Одна із широко розповсюджених математичних задач – розкладання заданої аналітичної функції в степеневий ряд Тейлора щодо деякої вузлової точки з абсцисою х0.
Для розкладу в ряд використовуються наступні функції системи Mathematica:
Series [f, {х, х0, n}] – виконує розкладання в степеневий ряд функції f в околі точки х = х0 за ступенями (х-х0) ^ n;
Series [f, {х, х0, nх }, {у, у0, nу}] – послідовно шукає розкладання в ряд спочатку по змінній у, потім по х;
SeriesCoefficient [s, n] – повертає коефіцієнт при змінної n-го ступеня ряду s;
Суть розкладання функції в степеневий ряд добре видно з розкладу функції f (х) =
, представленої на рис.2.6.1 (вихідні комірки мають стандартний формат).У першому прикладі розкладання йде відносно початкової точки х0 = 0, що відповідає спрощеному ряду Тейлора, який називається рядом Маклорена.У другому випадку розкладання йде відносно початкової точки х0, відмінною від нуля.Зазвичай таке розкладання складніше і дає велику залишкову похибку.Відповідно до прийнятої математичної символікою ця похибка позначається як О[x]i з показником ступеня, що вказує на порядок похибки.
Рис.2.6.1.Приклад розкладу в степеневий ряд
Слід зазначити, що розкладання в ряд використовує особливий формат виводу, частиною якого і є член залишкової похибки.На рис.2.6.2 показано розкладання в ряди Тейлора і Маклорена для декількох функцій.
Рис.2.6.2.Приклади розкладу в раді Тейлора і Маклорена
Неважко помітити, що не всі функції розкладаються в ряд Маклорена, і відповідно в ряд Тейлора, системою Mathematica. Наприклад, не мають розкладання логарифм і квадратний корінь – вони повертаються в початковому вигляді.
Із-за особливого формату результати розкладання в ряд не можна явно використовувати для розрахунків (наприклад, для побудови графіка функції за даними її розкладу в ряд).Для усунення залишкового члена та отримання прийнятних для розрахунків виразів можна використовувати функції Collect і Normal.Нижче показані приклади застосування цих функцій.