Теоретический анализ модели комплексного числа (стр. 2 из 5)

Итак,

. Последнее равенство удовлетворяет определению разности, следовательно, . Итак, вычитание выполнимо.

Докажем единственность разности. Пусть

есть разность вида . Это значит, что . Прибавим к обеим частям . Получим . Этим доказана однозначность вычитания.

Определение 2.2. Произведением комплексных чисел

и называется комплексное число .

Умножение обозначаем точкой, и определение тогда запишем так:

.

Так как умножение комплексных чисел сводится к арифметическим действиям с действительными числами, то умножение всегда выполнимо и однозначно.

Теорема 2.4. Умножение комплексных чисел коммутативно, ассоциативно и дистрибутивно относительно сложения, т.е.:

1)

;

2)

;

3)

;

Доказательство. Проверим только дистрибутивный закон. Вычислим левую часть

. Вычислим правую часть .

Как видим левая и правая части оказались равными одному и тому же комплексному числу. Следовательно, они равны, т.е.:

.

Комплексное число

является единицей, ибо для любого комплексного числа справедливо .

Единственность единицы проверяется обычным образом. Пусть

есть единица. Тогда , ибо – единица. Но – тоже единица, поэтому . Из однозначности умножения следует, что .

Теорема 2.5. Для всякого комплексного числа

существует обратное ему число, обозначаемое , т.е. такое, что их произведение равно единице.

Доказательство. Дано число

, где или , т.е. . Найдем такое число , чтобы , откуда . Из определения равенства комплексных чисел следует

Определитель системы

, следовательно, система имеет решение, притом единственное: , . Таким образом, .

Следствие. Деление комплексных чисел всегда выполнимо (исключая деление на нуль) и однозначно.

Проверим, что

есть . Вычислим: .

Итак,

. Последнее равенство удовлетворяет определению частного, следовательно, . Итак, деление выполнимо.

Докажем единственность частного. Пусть

. Это значит, что . Умножив обе части на , получим . Этим доказана однозначность деления.

На основании изложенного можно заключить, что множество комплексных чисел С является полем.

§3. Полем комплексных чисел

Выделим из поля С комплексных чисел множества CR пар вида

. Комплексное число вида назовем действительным комплексным числом.

Теорема 3.1. Множество CR действительных комплексных чисел изоморфно полю R действительных чисел.

Доказательство. Действительному комплексному числу

поставим в соответствие является взаимно-однозначным. Покажем, что указанное соответствие есть изоморфизм относительно сложения и умножения. Пусть , тогда и , т.е. . Следовательно, множество CR изоморфно полю R. Поэтому можно отождествить соответствующие элементы этих множеств и считать, что поле комплексных чисел С содержит поле действительных чисел. Действительное комплексное число в дальнейшем будем обозначать действительным числом а.

Комплексное число, не равное действительному, называется мнимым числом, т.е.

, где есть мнимое число. Мнимое число называют чисто мнимым числом. Число назовем мнимой единицей и обозначим буквой i.

Покажем, что мнимая единица является решением уравнения

. Действительно, . Итак, или .

Теорема 3.2. Всякое комплексное число может быть представлено в виде суммы действительного и чистого мнимого чисел.

Доказательство. Представим

. Таким образом, . Выражение называется алгебраической или линейной формой комплексного числа .

На основании определений 2.1, 2.2 и теорем 2.3, 2.5 действия над комплексными числами в алгебраической форме можно записать так:

1)

;

2)

;

3)

;

4)

.

Сделаем такое заключение. При оперировании с комплексными числами их следует рассматривать как двучлены относительно буквы i. Получаемый при умножении член i2 надо заменить на (-1).

Теорема 3.3. Поле комплексных чисел С является минимальным расширением поля действительных чисел R.

Доказательство. Пусть подполе

и отлично от . Это значит, что есть число , причем .