Поле комплексных чисел (стр. 6 из 6)

.

Приравнивая действительные части обеих частей равенства (4), получаем равенство (3).

п.11. Упорядоченные поля.

Определение. Упорядоченным полем называется алгебраическая система

такая, что:

1) алгебра

- поле;

2)

- линейный порядок на ;

3) для

;

4) для

.

Другими словами, упорядоченное поле - это поле, на множестве элементов которого определён линейный порядок

, согласованный условиями 3), 4), с операциями сложения и умножения. Нетрудно проверить, что для упорядоченного поля выполнены обычные свойства неравенств, известные для действительных чисел.

Примерами упорядоченных полей являются поле рациональных и поле действительных чисел.

Теорема 9. Если

- упорядоченное поле, то для из условия , следует, что .

Доказательство. Так как

- линейный порядок, то или . Если , то по условию 4) . Если , то и по условию 4), .

Теорема 10. Если

- упорядоченное поле, то для из условия следует, что .

Доказательство. Из теоремы 9 следует, что

и . Из условия 3 следует, что .

Теорема 11. Поле комплексных чисел

нельзя упорядочить.

Доказательство. Предположим противное - поле комплексных чисел

упорядоченно. Так как , то по теореме 10 - противоречие.

Список литературы

Е.Е. Маренич, А.С. Маренич. Вводный курс математики. Учебно-методическое пособие. 2002

В.Е. Маренич. Журнал «Аргумент». Задачи по теории групп.

Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.1 Основы алгебры. – М.: Физмат лит-ра, 2000

Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.2 Основы алгебры. – М.: Физмат лит-ра, 2000

Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.3 Основные структуры алгебры. – М.: Физмат лит-ра, 2000

Кострикин А.И. Сборник задач по алгебре. Изд. третье – М.: Физмат лит-ра, 2001