Математическая модель всплытия подводной лодки (стр. 2 из 2)

приведем к нормальной форме Коши, вводя новые переменные.

.

В результате получим систему состоящую из четырех дифференциальных уравнений первого порядка:

.

Начальные условия для которой имеют вид:

.

Решения этой системы для нескольких значений параметра

представлены на рис. 5.

Рис. 5 а.

Так как при близких значениях

траектория почти не изменяется и графики сливаются, для большей наглядности изобразим их в более крупном виде.

Рис.5 б.

На рис.5 а,б изображены решения исходной системы для

Найдем значение

для которого время всплытия будет наименьшим и уравнение движения при этом значении параметра. Очевидно, что если то , и система принимает следующий вид:

,

где

- функция, зависящая от времени.

График решения этой системы представлен на рис.6.

Функция возрастет быстрее, чем в случаях с другим значением

. А это значит, что, при данном значении параметра, она всплывет с определенной глубины за минимальное время.

Рис. 6 При отрицательном значении праметра траектория будет практически совпадать с траекторией

, но, в этом случае, задача теряет физический смысл.

Заключение.

Мы рассмотрели только частные случаи решения задачи. Исходную систему, невозможно решить в общем виде, без использования ЭВМ, или численных методов решения задачи.

Но, уже по частным случаям решений, можно увидеть некоторую закономерность, на основании которых, уже можно делать какие-то выводы.

Сам процесс всплытия подводной лодки – достаточно сложный физический процесс. На всплытие лодки влияют не только несколько сил действующие на неё. Большое значение имеют гидродинамические параметры, которые в построении данной модели не учитывались. Для численных решений системы и построения графиков были взяты реальные размеры и начальная скорость подводной лодки, что позволило как можно больше приблизить рассмотренный процесс к реальному.

Список литературы.

1. Агафонов С.А., Герман А.Д., Муратова Т.В. Дифференциальные уравнения

М.: Изд-во МГТУ имени Н.Э. Баумана, 2000. - 347 с.

2. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений

М.: Изд-во технико-теоретической литературы, 1950. - 467 с.

3. Осипенко Л., Жильцов Л., Мормуль Н. Атомная подводная эпопея

М.: “Боргес”, 1994. - 350 c.