Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений (стр. 2 из 3)

2.2 Теорема подобия.

Для любого постоянного a> 0:

Умножение аргумента оригинала на положительное число  приводит к делению изображения и его аргумента на это число .

Положим αt=u. Тогда

.

Таким образом, при t=0 получаем u=0, при

получаем и

2.3 Теорема запаздывания.

для t>τ>0

Таким образом, запаздывание аргумента оригинала на положительную величину приводит к умножению изображения оригинала без запаздывания F(p) на e^pt.

2.4 Теорема смещения.

Для a >0 имеет место соотношение:

∆

Из определения изображения имеем:

2.5 Теорема упреждения.

При а > 0 имеет место соотношение:

2.6 Умножение оригиналов

2.7 Дифференцирование оригинала

Если

и – оригиналы и , то

(2.7.1)

В самом деле, исходя из формулы Ньютона – Лейбница, в силу (2.1.1) будем иметь

.

Тогда по теореме 1

.

Отсюда

, что и требовалось доказать.

Применив формулу (2.7.1) дважды, получим

и т.д. В частности, если

, то , т.е. в этом случае дифференцирование оригинала сводится к умножению его изображения на p.

2.8 Дифференцирование изображения

Если

, то , то есть умножению оригинала на (-t) соответствует производная от изображения F(p).

Обобщение:

Путем последовательного дифференцирования по параметру p равенства

получим:

2.9 Интегрирование оригинала

Если

, то , то есть интегрированию оригинала в пределах от 0 до t соответствует деление изображения на р.

Если f(t) принадлежит множеству оригиналов, то и

будет принадлежать множеству оригиналов.

Пусть

и . Из видно, что

1)

2)

.

Применим свойство дифференцирования оригинала к

, и в силу последних двух равенств получим

,

А отсюда

.

Но, по условию теоремы,

. Следовательно, или .

А отсюда и из соотношений

и следует, что .

2.10 Интегрирование изображения

Если

и принадлежит множеству оригиналов, то .

§3. Изображения простейших функций

Единичная функция Хевисайда.

Имеем:

Так как при

, то .

Для функции Хевисайда с запаздывающим аргументом

по теореме запаздывания получим

.

Экспонента.По теореме смещения

.

Гиперболические и тригонометрические функции.

В силу линейности преобразования Лапласа имеем

;

;

;

Степенная функция с натуральным показателем.

Положим

, где . Тогда при

.

При

, поэтому

Отсюда

.

Так как

, то

Полученные с помощью формулы (1) изображения некоторых функций сведены в таблицу (см. приложение). Ее можно использовать для нахождения изображений функций.

§4. Отыскание оригинала по изображению

Для нахождения оригинала f(t) по известному изображению F(p) нужно использовать формулы обращения Римана-Меллина

.

Если функция f(t) является оригиналом, т.е. удовлетворяет условиям 1-3 определения 1 и F(p) служит ее изображением, то в любой точке своей непрерывности функция f(t) равна:

Формула обращения Римана-Меллина дает выражение оригинала f(t) через изображение F(p), причем α – произвольное число, удовлетворяющее неравенству α>s₀.

Вычисление оригинала по формуле Римана-Меллина довольно трудоёмко, поэтому на практике при решении задач применяют другие методы, которые рассматриваются ниже.

4.1 Разложение на простейшие дроби.

Если

есть дробно-рациональная функция, причем степень числителя A(p) меньше степени знаменателя B(p), то эту дробь разлагают на сумму простых дробей и находят оригиналы для каждой простой дроби либо непосредственно по формуле (1), либо по таблице (см. приложение).

Пример 1.Найти оригинал по изображению.

Разложим функцию на сумму дробей:

Найдем методом неопределенных коэффициэнтов А, В, С: