Вопросы к гос. экзамену по дисциплине Математика Алгебра (стр. 7 из 11)

Однако в теории классов известно, что таким обьразующим может быть любой элемент из этого

класса).

Рассмотрим множество классов вычетов, каждый из которых взаимно прост с m.

Известно, что количество чисел, взаимно простых с модулем определяет функцию

Эйлера g(m) ,и что остатком от деления целых чисел на m составляют полную систему вычетов

Взаимно простые с m следует искать среди классов Ко,К1,К2,…,Кm-1. Пусть такими

классами будут ír1,r2,…rg(m) ý. Такую систему классов называют приведенной

Системой классов вычетов и их представителем приведенной системы вычестов

ír1,r2,…rg(m)ý.

В этой системе ровно g(m) элементов, ( ri,m)=1, (ri,m)=1

Теперь докажем теорему о приведенной системе классов вычетов.

Теорема 2. Приведенная система классов вычетов по модулю не образует

мультипликативную группу.

Для доказательства теоремы необходимо проверить существенные признаки мультипликативной группы,

т.е. проверить:

1) замкнутость относительного умножения,

2) ассоциативность умножения,

3) существование единичного элемента,

4) существование для каждого элемента обратного.

Рассмотрим {r1,ri,…rg(m)},где (ri,m)=1, напомним ,что ri×rj=ri×rj.

(rim)=1Þ

(rj,m)=1

(1) (ri,m)=1

……(rj,m)=1 Если предположить, что (ri×rj,m)¹1, то это будет означать, что

най р-простое число такое, что ri×rj:p1Þ m:p

Если ri или rj делятся на р, то нарушаем условие (1).Если ri p, то по известному утверждению,

²a×b:p,(a,p)=1Þb:p², следует, ri:p, что также приводит к противоречию (1). И так,

(ri:rj,p)=1Þ

(ri×rj,p)=1, т.е.rirgÎ{r1,r2,…rj(m)}, что утверждает с необходимостью замкнутость

очередного умножения. Так как классы вычетов riÎZm, то умножение

Так как (1,m)=1, то ri=1, т.е. единый класс в рассматриваемом множестве есть.

Пусть аÎZ, (а,m)=1, рассмотрим{ar1,ar2,…arg(m)}.Легко показать, что

Это тоже приведенная система вычетов.Тогда ari=1Þa×ri=1, т.е. для ri

Существует класс ему обратный: а=ri-1. Можно существование обратного класса доказать и таким

Способом: a,r2…rg(m)=rj, сократим на ri, получим r1,r2…rj-1,rj+1 rg(m)=1, тогда

(r2…rg(m)=(r1)-1,(r1r3…rg(m)=(r2)-2 и т.д., что подвтерждает факт существования для

каждого класса ri ему обращенного ri-1. Теорема доказана.

Теория сравнения имеет всевозможное применение. В частности, теория сравнения

Используется при выводе признаков делимости. Сформулируем общий признак

Делимости на mÎZ, m>1, который назван признаком Паскаля. В основе этого признака лежит систематическая запись натурального числа в системе с основанием g, т.е.

(a_na_n-1…a₁a₀)g=a_n×gⁿ+a_n-1g^n-1+…a₁g¹+a0_g°.

Теорема 3.(Паскаля) Число а=(а_n,a_n-1…a1,a0)g делится на mÎZ,m>1 тогда и только

Тогда, когда на m деления в число: a_nr_m+a_n-1r_n-1+…a₁r₁+a₀r₀, где r_i остаток

От деления g_i на m.

g°=mg⁰+r₀, g¹=mg²+r₁,…gⁿ=mgⁿ=r_nÞ

g⁰ºr₀(m₀d_m),g1ºr₁(m₀d₀),…,gⁿºrn(m₀d₀). Используя свойства сравнения легко получаем,

что a_ngⁿ+…+a₀g⁰ºa_nr_n+…+a₀r₀ (m₀d₀). Воспользуемся определение сравнения, мы получаем истинность теоремы.

Общий признак позволяет вывести частный признак.

Выведем признак делимости на 3 и на 5, если число записано в десятичной

Системе исчисления.

1. m=3, g=10,тогда 10°=1º1(mod3),

10º1 (mod3), используем лемму, можно утверждать, что остатки r_i =1, по

по признаку Паскаля

(a_na_n-1…a₀)10ºa_n+…a₀(mod3), откуда можно сфоормулировать признак

делимости на 3:

“Число делится на 3 тогда и только тогда, когла сумма его цифр в

десятичной делится на 3”.

Пусть b ÎР(a), т.к. Р(a) = Р[a], то b = а_Sa^s +···+a₁a + a₀, где f(х) = а_Sх^s +···+a₁х + a₀Î Р[х], f(a) = b. Пусть g(х) – линейный элемент для a, т.е. g(х) = b_nхⁿ + ···+ b₁х + b₀. Разделим f(х) на g(х) :

(1) f(х) = g(х) g₁(х) + r(х), 0£ deg r(х) < n, т.е. r(х) = с₀ + с₁х +···+ с_n-1х^n-1. (с_iÎр).

положим х = a в (1), получим f(a) = g(a) g₁(a) + r(a), т.к. g(a) = 0, то f(a) = r(a), т.е. b = с₀ + с₁a +···+ с_n-1a^n-1. Получили, что такое представление однозначное.

Пусть b = с₀ + с₁a +···+ с_n-1a^n-1 и b = d₀ + d₁a +···+ d_n-1a^n-1.

Рассмотрим многочлен φ(х) = (с₀ - d₀) + (с₁ - d₁)х + ∙∙∙ + (с_n-1 - d_n-1)х ^n-1, причем φ(a) = 0, т.е. получился многочлен, степени меньше чем n, для которого a является корнем, что противеречит линейности многочлена для a. Если φ(х) существует, то он нулевой, поэтому с_i = d_i, что и доказывает теорему.

Посмотрим как возможно изменить эту теорему для освобождения от алгебраической иррациональности в знаменатели дроби.

Пусть a – алгебраический элемент степени n > 1 не из Р

Пусть f(х), h(х) два многочлена из Р[х], h(a) ¹ 0. Тогда в р(a) может быть дробь

. Возникает проблема представить дробь в виде линейной комбинации

степеней a. Это возможно, так как любой элемент из р(a) есть линейная комбинация 1, a,…,a ^n-1 Задача состоит в нахождении алгоритма преобразования.

Пусть g(х) – минимальный многочлен для a степени n. Т.к. h(a) ¹ 0, то h(х) g(х) ® (h(х), g(х)) = 1 => uh + vg = 1. Т.к. g(a) = 0, u (a) h (a) = 1 u(a) = . Следовательно, = f (a)u(a) , где f(х), u(х) Î Р[х], а f (a), u(a)Î Р[a]. Таким образом удалось освободиться от иррациональности в знаменателе дроби, а сделать это можно так:

1)

рассмотрим h(х) и g(х) – минимальные a, если a

2) с помощью алгоритма евклида подобрать u(х) такой, что h(х) g(х) + v(х) g(х) = 1;

3) найти u(a);

= f (a)u(a)

Вопрос 10. Кольцо многочленов от одной переменной.

Вопрос предполагает решение проблемы построения кольца многочленов как алгебры и решение проблемы о корнях многочлена.

Для построения кольца многочленов как алгебры напомним определение алгебры.

Определение 1. Алгеброй называется упорядоченное множество двух множеств

, где множество элементов любой природы, а V – множество операций.

Одной из алгебр является кольцо.

Определение 2. Кольцом называется алгебра с двумя бинарными операциями – сложение и умножение -, удовлетворяющих следующим свойствам:

1. < K, +> - аддитивная абелева группа;

2. “ ´ ”- ассоциативная операция;

3. Сложение и умножение связаны дистрибутивным законом.

Для построения кольца многочленов зададим кольцо К и введем понятие многочлена.

Определение 3. Многочленом f(x) называется сумма a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+...+a₁x+a₀, где a_iÎK, x – неизвестное, xÏK, x⁰=1, 1·x= x. a_i называют коэффициентами многочлена, a_n- старшим, a₀ – свободным членом.

Определение 4. Суммой двух многочленов

и называется многочлен h(x)=f(x)+g(x), h(x)=c_kx^k+...+c_0, где c_i=a_i+b_i. Определение 5. Произведением двух многочленов и называется многочлен , где .

Обозначим множество всех многочленов с коэффициентами из кольца K через K[x] и рассмотрим алгебру <K[x], +, ´>. Докажем теорему о том, что эта алгебра является кольцом.

Теорема 6. Алгебра многочленов <K[x], +, ´>, с коэффициентами из кольца K образует кольцо.

g 1. f(x)+(g(x)+h(x))=(f(x)+g(x))+h(x)

f(x)+g(x)=g(x)+f(x)

f(x)(g(x)h(x))=(f(x)g(x))h(x)

f(x)(g(x)+h(x))=f(x)g(x)+f(x)h(x)

Ассоциативность сложения и умножения, коммутативность сложения и дистрибутивные законы непосредственно вытекают из введенных нами операций над многочленами.

2.

- называют нулевым многочленом, легко проверить, что , т.е. - выполняет роль нулевого элемента в алгебре K[x].

3. f(x)=(-a_n)xⁿ+...+(-a₁)x+(-a₀)=-f(x) – называют противоположным многочленом для многочлена f(x), он выполняет роль противоположного элемента в алгебре. Так как все аксиомы кольца выполняются, то <K[x],+,´> - кольцо, которое обозначают K[x] и называют кольцом многочленов над кольцом K.

Теорема 7. Если K область целостности, то K[x] тоже область целостности.