Лекции по Математике 3 (стр. 3 из 7)

Теперь вернемся к прежней переменной

или - это общий

интеграл исходного уравнения.

Определение 15. Уравнение

(16),

где

- константы, причем называется уравнением, приводящимся к

однородному.

В случае, когда

, уравнение (16) будет являться однородным.

Рассмотрим следующие случаи:

1.

Введем новые переменные

и следующим образом:

(17),

где

пока неопределенные константы, , тогда уравнение (16) примет вид

Если подобрать

таким образом, чтобы

(18),

то есть

являются решением системы (18), тогда получим однородное уравнение:

(19)

Найдем его общий интеграл, а затем вернемся к старым переменным и получим общий ин-

теграл уравнения (16).

2.

, это означает, что строки определителя пропорциональны, то есть

, значит уравнение (16) имеет вид:

(20)

Это уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными заменой

.

Аналогично интегрируется уравнение

(21),

где

- заданная непрерывная функция.

Пример 10. Найти общий интеграл уравнения

.

Решение. Так как

, для приведения данного уравнения к однородному

надо сделать замену, для этого сначала решим систему:

, получим .

Тогда сделаем следующую замену

, подставляем в исходное уравнение, получаем

или - это однородное уравнение, для его решения сделаем

замену

или , , подставляем в однородное уравнение, получа-

ем

или .

Преобразуем полученное уравнение, чтобы можно было разделить переменные:

, тогда

или , а после потенцирования получаем

.

Сначала вернемся к переменной

: или , теперь вер-

немся к переменным

: или

- это общий интеграл исходного уравнения.

Пример 11. Найти общий интеграл уравнения

.

Решение. Так как

, то это уравнение, приводящееся к уравнению с разделяющимися

переменными. Сделаем замену

, тогда или . Подставляем в

уравнение, получаем:

или . Разделяем переменные , тогда

или , после потен-

цирования получаем:

; возвращаемся к переменной :

- это общий интеграл исходного уравнения.

III. Линейные неоднородные уравнения, уравнения Бернулли.

Определение 16. Уравнение 1-ого порядка, линейное относительно неизвестной функции и

ее производной, называется линейным уравнением.

Линейное уравнение имеет вид:

(22),

где

- функции, заданные на некотором промежутке .

Если

, то уравнение (22) называется линейным однородным; если , то уравне-

ние (22) называется линейным неоднородным.

Теорема 2. Если функции

непрерывны на отрезке , то уравнение (22) всегда

имеет единственное решение, удовлетворяющее начальному условию

, где т.

принадлежит полосе

.

Доказательство. Разрешим уравнение (22) относительно производной, то есть в виде уравнения