Нестандартные методы решения тригонометрических уравнений графический и функциональный (стр. 2 из 2)

Данное уравнение рационально решать методом функциональной подстановки.

Пустьu = sinx и v = +√2-sinІx. Так как –1≤u≤1 и v≥1, то u+v≥0. Кроме того, имеем uІ + vІ =2.

В таком случае из уравнения получаем систему уравнений

u + v + uv = 3

uІ + vІ =2

Пусть теперь r = u+v и s=uv, тогда из системы уравнений следует

r + s = 3

rІ - 2s = 2

Отсюда с учетом того, что r≥0, получаем r = 2 и s = 1. Следовательно, имеет место

u + v = 2

uv = 1

u = v = 1

Поскольку, u = sinx и u = 1, то sinx= 1 и x = π/2+2πk, kÎZ

Ответ: x = π/2+2πk, kÎZ

cos

=x²+1

Данное уравнение рационально решать функциональным методом.

cos

≤1 x²+1≥1 =>

cos =1

x²+1=1 x=0

Ответ: х=0

5sinx-5tgx

+4(1-cosx)=0

sinx+tgx

Данное уравнении рационально решать методом фунциональной подстановки.

Так как tgx не определен при x = π/2+πk, kÎZ, а sinx+tgx=0 при x = πk, kÎZ, то углы x = πk/2, kÎZ не входят в ОДЗ уравнения.

Используем формулы тангенса половинного угла и обозначим t=tg(x/2), при этом по условию задачи t≠0;±1, тогда получим

2t 2t

5 -

1+tІ 1-tІ 1-tІ

+4 1- =0

2t 2t 1+tІ

+

1+tІ 1-tІ

Так как t≠0;±1, то данное уравнение равносильно уравнению

8tІ

-5tІ + = 0 --5-5tІ + 8 = 0

1+tІ

откуда t = ±√3/5,. Следовательно, x = ±2arctg√3/5 +2πk, kÎZ

Ответ: x = ±2arctg√3/5 +2πk, kÎZ

tgx+ctgx+tgІx+ctgІx+tgіx+ctgіx=6

Данное уравнение рационально решать методом функциональной подстановки.

Пусть y=tgx+ctgx, тогда tgІx+ctgІx=yІ-2, tgіx+ctgіx=yі-3y

yі+yІ-2y-8=0

y=2

Так как tgx+ctgx=2, то tgx+1/ tgx=2. Отсюда следует, что tgx=1 и x = π/4+πk, kÎZ

Ответ: x = π/2+2πk, kÎZ

2cosπx=2x-1

Данное уравнение рационально решать графическим методом.

Точка пересечения графиков имеет координаты (0,5; 0). Следовательно, х=0,5

Ответ: х=0,5

3+(х-π)²=1-2cosx

Данное уравнение рационально решать функциональным методом.

(х-π)²+2=-2cosx

(х-π)²+2≥2 -2cosx≤2

=> x=π, при k=0

Ответ:x=π

10^|sinx|=10^|cosx|-1

Данное уравнение рационально решать графоаналитическим методом.

Т.к. 10>1, то данное уравнение равносильно следующему:

|sinx|=|cosx|-1

Точки пересечения графиков имеют координаты (

); . Следовательно, х= .

Ответ: х=