Ответы по геометрии для 9 класса (стр. 4 из 6)
36. Сложение векторов. Свойства сложения векторов.
Для доказательства достаточно сравнить соответствующие координаты векторов, стоящих в правой и левой частях равенства. Они равны, а векторы с соответственно равными координатами равны.
Каковы бы ни были точки А, В, С, имеет место векторное равенство
чения суммы двух векторов называется «правилом треугольника» сложения векторов.
Для векторов с общим началом их сумма изображается диагональю параллелограмма, построенного на этих векторах (правило параллелограмма)
37. Задача по теме «Многоугольники».
Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, если все его внешние углы тупые?
Решение. Обозначим внешний угол многоугольника через а. По условию все внешние углы тупые, т. е. а > 90°. Так как сумма внешних углов выпуклого многоугольника равна 360°, то а • п — 360°. Отсюда следует, что п не более трех. А так как п — целое, то п = 3.
38. Умножение вектора на число. Свойство произведения вектора на число.
39. Задача по теме «Многоугольники».
Сторона квадрата равна 7 см. Определите диаметр окружности, описанной около этого квадрата.
Решение. Квадрат называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на окружности. Из определения следует, что точка пересечения диагоналей квадрата совпадает с центром описанной около него окружности. Отсюда диаметр окружности совпадает с диагональю квадрата. Диагональ
квадрата 7 pi/2 см. Следовательно, и диаметр окружности равен 7 pi/2 см.
40. Задача по теме «Свойства прямоугольного треугольника, у которого один угол равен 30°».
Докажите, что в равностороннем треугольнике расстояние от точки пересечения двух биссектрис до стороны в два раза меньше расстояния от этой же точки до вершины.
Дано: ААВС — равносторонний треугольник, DC и BF — биссектрисы, О — точка пересечения биссектрис DC и BF.
Доказать: ВО = 2DO.
Доказательство. Биссектриса угла равностороннего треугольника является одновременно его медианой и высотой. Отсюда следует, что в треугольнике BDO Z BDO = = 90°, a Z DBO = 30°. Следовательно, треугольник BDO — прямоугольный, и один из его углов равен 30°. Отсюда ВО = 2DO (по свойству прямоугольного треугольника, у которого один угол равен 30°).
41. Построение с помощью циркуля и линейки биссектрисы угла.
42. Неравенство треугольника.
Если точки А и В различны, то расстоянием между ними называется длина отрезка АВ. Если точки А и В совпадают, то расстояние между ними принимается равным нулю.
[П] Каковы бы ни были три точки, расстояние между любыми двумя из этих точек не больше суммы расстояний от них до третьей точки.
Доказательство. Если две точки из трех или все три точки совпадают, то утверждение теоремы очевидно. Если все точки различны и лежат на одной прямой, то одна из них лежит между двумя другими, например В. В этом случае АВ + ВС = АС. Отсюда видно, что каждое из трех расстояний не больше суммы расстояний до двух других.
Допустим, что все точки различны и не лежат на одной прямой (рис. 46). Докажем, что АВ < АС + + ВС. Опустим перпендикуляр CD на прямую АВ. По доказанному АВ < AD + BD. Так как AD < АС и BD < ВС, то АВ < АС + ВС. Теорема доказана.
Заметим, что в случае, когда точки не лежат на одной прямой, в неравенстве треугольника строгое неравенство. Отсюда следует, что в любом треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон.
[А] Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.
43. Задача по теме «Параллелограмм».
Даны две окружности с общим центром в точке О, АС и BD — диаметры этих окружностей. Докажите, что четырехугольник ABCD — параллелограмм.
Дано: О — центр концентрических окружностей, АС — диаметр большей окружности, BD — диаметр меньшей окружности.
Доказать: ABCD — параллелограмм.
Доказательство. Так как О — центр концентрических окружностей, то диаметры АС и CD пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, значит, в силу признака параллелограмма ABCD — параллелограмм.
44. Задача по теме «Углы, вписанные в окружность».
45. Построение с помощью циркуля и линейки перпендикулярной прямой.
Дано:
.Построить прямую, перпендикулярную прямой п и проходящую через данную точку С.
Построение (рис. 48).
Проведем окружность произвольного радиуса с центром в точке С. Пусть В is. A — точки пересечения этой окружности с прямой л (постр. 2). Из точек В и А радиусом АВ проведем окружность, точку пересечения этих двух окружностей обозначим через О (постр. 3), проведем прямую СО (постр. 4). Перпендикулярность прямых СО и п следует из равенства треугольников АОС и ВОС.
Дано:
.Построить прямую, перпендикулярную прямой п и проходящую через данную точку С.
Построение (рис. 49).
Проведем окружность произвольного радиуса с центром в точке С. Пусть В . A — точки пересечения этой окружности с прямой п (постр. 2). Из точек Б и А тем же радиусом проведем окружности и точки пересечения этих двух окружностей обозначим через С1 и С (постр. 3). Проведем прямую C1C (постр. 4).
Докажем перпендикулярность прямых СгС и п. Точку пересечения прямых CjC и п обозначим через О. Треугольники АСЕ иАСВ равны по третьему признаку равенства треугольников. Поэтому СОВ = = CAO. Тогда треугольники САО и С1АО равны по первому признаку равенства треугольников. Отсюда следует, что углы СОА и СОА равны. А так как они смежные, то они прямые. Следовательно, СО — перпендикуляр, опущенный из точки С на прямую п.
46. Признаки подобия треугольников (доказательство одного из них).
[П] Первый признак подобия треугольников: Если два угла одного треугольника равны
двум углам другого треугольника, то такие
треугольники подобны.
Второй признак подобия треугольников: Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.
Третий признак подобия треугольников: Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
[А] Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.
47. Задача по теме «Прямоугольник».
Прямоугольник вписан в окружность радиуса 5 см. Одна из его сторон равна 8 см. Найдите другие стороны прямоугольника.
48. Задача по теме «Углы, вписанные в окружность».
На диаметре окружности построен равносторонний треугольник. Определите градусную меру дуг, на которые стороны треугольника делят полуокружность.
