Дослідження методу ортогоналізації й методу сполучених градієнтів (стр. 3 из 4)
. (12)Вектор
приймемо за нове наближення до рішення
системи. Вектор не в'язань
(13)має напрямок нормалі до поверхні
в крапці 
. Покажемо, що він буде ортогональний до 
і 
. Справді, використовуючи (9), (11), (12), (13), маємо: 
Розглянемо гіперплощину (n-2) – х вимірів
, (14)минаючу через крапку
. Ця гіперплощина містить і 
, тому що ми раніше бачили, що 
, а 
.Вектор
при кожному 
паралельний гіперплощини (7), тому що 
.Підберемо
так, щоб він був паралельний і гіперплощини (14), тобто зажадаємо ортогональності до вектора 
. Будемо мати:
,або
(15)Вектор
(16)буде мати напрямок нормалі до перетину поверхні
гіперплощиною (14) у крапці . Із крапки змістимося в напрямку цього вектора так, щоб функція 
досягла мінімального значення. Це буде при 
, (17) 
(18)приймемо за нове наближення к.
Новий вектор не в'язань буде: 
. (19)Продовжуючи процес, одержимо послідовності векторів
, 
, 
, обумовлені рекурентними співвідношеннями:
(20)Для цих векторів мають місце наступні співвідношення:
(21) 
(22)Справді, у силу самої побудови при i (j
Далі, при i>j
Якщо i=j+1, то права частина дорівнює нулю, у силу визначення
, якщо ж i>j+1, те 
, по доведеному, і 
.Продовжуючи зниження індексу у вектора
, через кілька кроків прийдемо до скалярного добутку 
(по визначенню 
). Таким чином, співвідношення (21) доведені. Для доказу (22), у силу рівноправності індексів i і j, припустимо, що i>j. Тоді 
.Тому що в n-мірному векторному простори не може бути більше n взаємно ортогональних векторів, то на деякому кроці
одержимо 
, тобто 
буде рішенням системи (1).На мал. 1 показана геометрична картина нашої побудови при n=3.
Мал. 1
2.2 Другий алгоритм методу
Приведемо інший алгоритм методу. Будемо позначати послідовні наближення до рішення через
і введемо позначення: 
. (23)Перші два наближення
й 
візьмемо так, щоб 
. (24)Припустимо, що вже відомо наближення
(i³1), обчислена 
й справедливо рівність 
. (25)Будемо шукати мінімум функціонала (2) на множині векторів
. (26)Дорівнюючи до нуля частки похідні від
по 
й 
для визначення й , одержимо систему: 
(27)або, з огляду на (25),
(28)Позначимо через
рішення цієї системи: 
(29)і за (i+1) – е наближення до рішення приймемо:
(30)Із системи (27) треба, що
, (31)а тому що
те з (31) треба:
(32)Доведемо, що якщо
(33)те при всіх i
(34)що буде доводити й збіжність, і кінцівка другого алгоритму.
Справді, при умовах (33)
т.ч. умова (24) виконано. Припустимо, що вже доведено рівності
(35)і доведемо рівність
При припущенні (35)
і, отже, 
Але зі співвідношень (20) маємо:
Доведемо коллінеарність векторів
і 
(36)З (20) і (29) маємо:
