Линейные диофантовые уравнения (стр. 4 из 4)

Рассмотрим его как уравнение относительно п и т и решим его.

В качестве частного решения можно взять, например, n₀= 9, m₀ = 8:

14•9-17•8 = -10.

Вычитая это равенство из уравнения 14n — 17m = -10, мы получим однородное уравнение:

14(n-9) = 17(m-8).

Его общее решение в целых числах имеет вид: n- 9 = 17k, т - 8 = 14k, где k

Z. Отсюда

n = 9 + 17k, m = 8 + 14k. Поскольку нас интересует решение в натуральных числах, возможные значения целочисленного параметра k должны быть неотрицательными: k

Z . Переменную k можно интерпретировать как номер встречи автобусов в пункте В (имея в виду, что встречи нумеруются не с 1, а с 0). Моментk-й встречи можно подсчитать как t’_nпри n= 9 + 17k: t_k= .

Число встреч за 8 часов равно числу решений неравенства t_k≤ 8 на множестве k

Z:

Таким образом, за 8 часов автобусы ровно 6 раз встретятся в пункте В.

Перейдем теперь ко второй части задачи («сколько раз за 8 часов автобусы окажутся в одном месте строго между пунктами А и В? »). Прежде всего найдем, сколько раз за 8 часов автобусы встретятся в пункте А — эта информация окажется позже нам полезной.

Как и в предыдущем исследовании, примем момент старта автобусов в качестве начального и обозначим через T’_n, T"_n— моменты времени, когда первый и второй автобусы в n-й раз окажутся в пункте-А (рис. 1).

Поскольку первый автобус стартует из пункта А, к моменту n-говизита в А он пройдет путь S’_n= 4(n-1) (последовательность S'_nобразует арифметическую прогрессию с разностью 4).

Поэтому

T’_n=

.

Второй автобус к моменту n-го визита в А пройдет путьS”_n= 2 + 4(n-1) = 4n- 2 (последовательность S”_n также будет арифметической прогрессией с разностью 4). Поэтому T”_n=

.

Встреча автобусов в пункте А означает, что для некоторых натуральных nи т верно равенство

T’_n= T”_n

28n-34m=11

Левая часть этого уравнения — четное число, а правая — нет. Поэтому оно не имеет решений в целых числах. Следовательно, автобусы никогда не встретятся в пункте А.

Теперь перейдем непосредственно к решению второй части задачи. Для этого введем систему координат на дороге между А и В, выбрав в качестве начала отсчета пункт А, в качестве положительного направления — направление от А к В (рис. 2).

Пусть x₁(t), x₂(t) — координаты первого и второго автобусов соответственно в момент t. Графики функций x₁(t) и x₂(t) — это ломаные линии, изображенные на рисунках 1 и 2 соответственно. Первая ломаная состоит из 102 пар звеньев с угловыми коэффициентами 51 и -51, а вторая — из 84 пар звеньев с угловыми коэффициентами 42 и -42 (на рисунках мы исказили масштаб). Точки А и В на оси ординат имеют координаты 0 и 2 соответственно и соответствуют прохождению через пункты А и В.

Встреча автобусов в какой-то момент tозначает совпадение их координат в этот момент: x₁(t) = x₂(t), то есть пересечение графиков функций x₁(t) и x₂(t).

Каждое звено первой ломаной пересекает вторую ломаную ровно в одной точке. Поэтому всего будет 102 точки пересечения возрастающих звеньев первой ломаной со второй ломаной и 102 точки пересечения убывающих звеньев первой ломаной со второй ломаной. Поскольку автобусы не встречаются в пункте А, ни одна из этих точек не будет лежать на оси абсцисс. С другой стороны, поскольку автобусы встречаются 6 раз в пункте В, ровно 6 точек пересечения будет лежать на горизонтальной прямой у = 2. Эти точки будут включены как в 102 точки пересечения возрастающих звеньев первой ломаной со второй ломаной, так и в 102 точки пересечения убывающих звеньев первой ломаной со второй ломаной. Поэтому число точек пересечения, лежащих внутри полосы 0 < у < 2, равно

2•(102-6)=192

Ответ: а) 6 раз; б) 192 раза.