Формирование понятия функции в курсе математики средней школы (стр. 3 из 9)

Т.е. x>-4. Следовательно, общей частью двух областей является промежуток x

(-4;0]. Он и есть область определения данной функции.

Заметим, что если данная функция есть сумма (разность, произведение) других функций, то её область определения есть пересечение множеств, являющихся областями определения и исходных функций.

§4. Важнейшие классы функций: четные, нечетные, периодические

Говорят, что множество Х симметрично относительно нуля (симметрично относительно начала координат), если множество Х таково, что (-х)

Х для любого х Х, т.е. вместе с каждым своим элементом х, оно содержит и ему противоположный элемент (-х).

Примеры симметричных относительно нуля множеств:

отрезок [-5;5];

интервал [-3;3];

числовая прямая (-

);

Примеры несимметричных множеств:

отрезок [-5;4];

интервал (-2;3);

луч [-10;+

);

Несимметричным относительно нуля множеством является и промежуток [-2;2), так как –2 принадлежит этому множеству, а противоположное число 2 ему не принадлежит.

Определение:

Функция у = f(x) называется четной, если:

1) область определения D(f) есть множество, симметричное относительно нуля;

2) для любого х

D(f) выполняется равенство

f(-x) = f(x)

Таким образом, вопрос о четности или нечетности той или иной функции надо рассматривать, учитывая всякий раз не только вид аналитического выражения, но и тот промежуток, на котором определена данная функция. Ответ на вопрос: “Является ли, например, функция у = 1-х

четной функцией?” зависит от выбора области определения. Если указанная функция определена на промежутке, симметричном относительно нуля.

Например, на всей числовой прямой, или на отрезке [-1;1], то в этих случаях функция у = 1-х

является четной функцией. Если же предположим, что область определения есть отрезок [-1;2], то функция у = 1-х не является нечетной.

Заметим, что наряду с четными и нечетными функциями есть функции, не являющиеся ни теми, ни другими, например, такими являются функции

у=1+sinx; у = 2

; у = .

Итак, при исследовании функции у = f(x) на четность или нечетность, необходимо поступать следующим образом:

а) выяснить симметричность области определения функции у = f(x) относительно нуля;

б) если область определения функции не симметрична относительно нуля, то функция не является ни четной, ни нечетной;

в) если область определения функции не симметрична относительно нуля, то необходимо проверить истинность равенств:

f(-x) = f(x) (1)

или f(-x) = f(x) (2) для всех х

D(f)

Если выполняется равенство (1), то функция у = f(x) четная; если выполняется равенство (2), то функция у = f(x) нечетная. Если не выполняется ни одно из равенств (1) или (2), то функция не является ни четной, ни нечетной.

Можно предложить следующую блок-схему исследования функций на четность и нечетность:

_

+

+

_

+

Пример: исследовать на четность и нечетность функции:

1) у = 8

; 2) у = ; 3) у = ; 4) у = .

Областью определения функции у = 8

является числовая прямая (- ; + ) – симметричное относительно нуля множество. Далее, имеем f(x) = 8 ;

f(-x) = 8

= 8 . Таким образом, f(-x) = f(x) , т.е. функция является чётной.

2) Областью определения функции y =

является промежуток (0; + ) – не симметричное относительно нуля множество, поэтому функция y = не является ни чётной, ни нечётной.

3) Область определения функции у =

находится из условия или (x – 1)(x + 1) , таким образом, областью определения данной функции является отрезок [-1; 1] – симметричное относительно нуля множество. Далее, имеем

f(x) =

; f(-x) = = , т.е. функция у = является чётной.

4) Функция у =

не определена при тех значениях x, при которых знаменатель = 0, т.е. в таких точках –3 и3 значит, область определения функции D(f) = (- ; -3) (-3; 3) (3; + ) - симметричное относительно нуля множество. Далее f(x) = ; f(x) = = - .

Так как f(-x)

f(x) и f(-x) -f(x), то функция не является ни чётной, ни нечётной.

Рассмотрим основные свойства чётных и нечётных функций.

Свойство 1. Если y = f(x) и y =

(x) – нечётные функции, то их алгебраическая сумма и разность есть функция нечётная.

Доказательство.

Пусть Функции y = (x) и y =

(x) имеют область определения X, симметричную относительно нуля. Обозначим сумму и разность данных функций

(x) и (x) соответственно:

(x) = f(x) + (x); = f(x) - (x).