Некоторые линейные операторы (стр. 2 из 9)

По свойству нижней грани в S можно указать последовательность (k_n), сходящуюся к k. Так как k_n

S, то выполняется неравенство: |А(x)| k_n||x||, (x E). Переходя в этом неравенстве к пределу

получаем |А(x)|

k||x||, где (x E), (k S).

т. д-на.

Определение 5. Наименьшая из этих констант K, для которых выполняется неравенство (1), называется нормой оператора А и обозначается ||A||[4].

||А||

K, для K, подходящего для (1), то есть |А(x)| ||А||||x||, где

||А|| =

x E.

Между ограниченностью и непрерывностью линейного оператора существует тесная связь, а именно справедлива следующая теорема.

Теорема 3.

Для того, чтобы линейный оператор А действующий из E_x в E_y был ограничен, необходимо и достаточно, чтобы оператор А был непрерывен.

Необходимость:

Дано: А – ограничен;

Доказать: А – непрерывен;

Доказательство:

Используя теорему 1 достаточно доказать непрерывность А в нуле.

Дано, что ||Аx||

K||x||.

Докажем, что А непрерывен в нуле, для этого должно выполняться

>0, >0 что ||x||< ||Ax|| < .

Выберем

так, чтобы K*||x|| < , ||x|| < , (К>0), значит = , тогда если ||x||< , то ||Аx|| K||x|| < K =

Непрерывность в нуле доказана, следовательно доказана непрерывность в

точке.

Достаточность:

Дано: А – непрерывен;

Доказать А – ограничен;

Доказательство:

Допустим, что А не ограничен. Это значит, что числу 1 найдется хотя бы один соответственный вектор x₁ такой, что ||A x₁|| > 1|| x₁||.

Числу 2 найдется вектор x₂, что ||A x₂|| > 2|| x₂|| и т.д.

Числу n найдется вектор x_n, что ||A x_n|| > n|| x_n||.

Теперь рассмотрим последовательность векторов y_n =

, где

||y_n|| =

.

Следовательно последовательность y_n

0 при n .

Так как оператор А непрерывен в нуле, то Аy_n

0, однако

||Аy_n || = ||A

|| = ||Ax_n || > n|| x_n|| = 1, получаем противоречие с Аy_n 0, то есть А – ограничен

Для линейных операторов ограниченность и непрерывность оператора эквивалентны.

Примеры.

1) Покажем, что норма функционала[5] F(y) =

в C_{[a, b]}, где p(x) – непрерывная на [a,b] функция, равна .

По определению 5: ||F|| =

|F(x)| = | |.

|

| | | = | y(x)|| | |y(x)|| |;

||F|| =

( |y(x)|| |) = ||y(x)||| | = | | .

Таким образом, норма F(y) =

будет ||F|| = ;

2) Найдем норму функционала, определенного на C[0, 2], где p(x)=(x-1)

F(y) =

.

По выше доказанному ||F|| =

= 1.

§3. Обратный оператор. Спектр оператора и резольвента

Пусть

, – нормированные пространства, – линейный оператор, D_A- область определения оператора, а R_A – область значений.

Определение 6. Оператор А называется обратимым, если для любого элемента у, принадлежащего R_A, уравнение Ах=у имеет единственное решение.

Если оператор А обратим, то каждому элементу у, принадлежащему R_A, можно поставить в соответствие единственный элемент х, принадлежащий D_A и являющийся решением уравнения Ах=у. Оператор, осуществляющий это соответствие, называется обратным оператором к оператору А и обозначается А^-1.

Теорема 4.

Для того чтобы линейный оператор

имел ограниченный обратный оператор необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство:

, (m>0).

Доказательство:

Достаточность.

Пусть выполняется данное неравенство. Тогда равенство Ax=0 возможно лишь тогда, когда x – нулевой вектор. Получим 0

m*||x||, отсюда ||x|| 0, но так как норма не может быть <0, то x=0. А обращается в ноль лишь на нулевом векторе. Итак, А^-1 существует.

Докажем его ограниченность.

y=Ax.

x=A^-1y, норма ||A^-1y||=||x||, но ||x||

||Ax||= ||y||.