Решение задачи Дирихле методом Монте-Карло (стр. 6 из 8)

Доказательство. Придадим более точный смысл утверждению о произвольности радиуса

. Будем считать, что задана некоторая плоскость , которая тождественно равна нулю при всех , превосходящих минимальное расстояние от до границы , а также при ; случай также допускается; и выбор осуществляется в соответствии с плотностью . Пусть – плотность распределения точки в . Тогда математическое ожидание величины равно

.

По теореме о среднем значении гармонической функции

.

Поэтому

.

При

точка и . Применяя индукцию, получим утверждение теоремы.

Построение траекторий рассмотренного типа в трехмерном случае иногда называют блужданием по сферам.

Приведенную выше траекторию можно использовать для приближенного решения задачи Дирихле. Пусть на границе

области задана ограниченная функция . Обозначим через искомое решение, удовлетворяющее внутри уравнению (1) и обращающееся в при .

Фиксируем достаточно малую окрестность

границы (рис. 3, Приложение D). Чтобы вычислить , будем строить траектории вида до тех пор, пока случайная точка не попадет в . Пусть – ближайшая к точка границы . Можем считать, что значение случайной величины приближенно равно . Построив траекторий такого типа, получим значения , по которым оценивается искомое решение

. (2)

Замети, что сходимость по вероятности

, (3)

когда

не вытекает из теоремы Хинчина, говорящей о том, что последовательность одинаково распределенных независимых величин, у которых существуют математические ожидания, подчиняется закону больших чисел, так как в сумме (3) фигурируют различных случайных величин, различающихся правилами выбора Можно, однако воспользоваться другой формой закона больших чисел – теоремой Чебышева:

Если величины

независимы и существует и , то при

(Доказательство этой теоремы легко получить, применяя к величине

неравенство Чебышева – ).

В нашем случае все

, а дисперсии , где . В самом деле, как известно, максимум и минимум гармонической функции достигаются на границе области, так что при всех .

Такой метод расчета

считается более быстрым, чем метод использования разностных уравнений, так как вдали от границы позволяет делать большие шаги . Обычно рекомендуют выбирать максимально возможные радиусы .

Данный метод был предложен Дж. Брауном и обоснован М. Мюллером, который доказал, в частности, что вероятность того, что траектория

никогда не попадет в , равна нулю. Дальнейшее развитие метода – организация зависимых испытаний, решение уравнений более общего вида, использование вместо кругов других фигур (для которых известны функции Грина).

Задача Дирихле для уравнения Пуассона и ее решение методом Монте-Карло с использованием метода сеток

В ограниченной связной области

плоскости с простой границей рассмотрим дифференциальной уравнение с частными производными

(1)

где

– искомая функция. Уравнение (1) при называется уравнением Лапласа, а при – уравнением Пуассона.

Применяя метод сеток для решения краевых задач, прежде всего появляется задача замены дифференциальных уравнений разностными уравнениями. Аппроксимации дифференциального уравнения разностным заключается в том, что производные, входящие в дифференциальное уравнение, заменяются линейными комбинациями значений функции

в узлах сетки по тем или иным формулам численного дифференцирования. В зависимости от того, какими формулами численного дифференцирования будем пользоваться, получим различную точность аппроксимации дифференциального уравнения разностным.

Предположим, что на границе

задана некоторая функция (часто пишут g(S), где — длина дуги границы, отсчитываемая от какой-нибудь фиксированной точки). Требуется найти такое решение уравнения (1), которое на границе совпадает с :