Однородные и неоднородные системы линейных дифференциальных уравнений (стр. 3 из 4)

или

Находим его корни:

Составим систему (3) для корня

и определяем и :

или =>

Откуда

. Полагая , получаем .

Таким образом, мы получили решение системы:

Составим далее систему (3) для корня

и определяем и :

Откуда

и =1, =1.

Получаем второе решение системы:

Общее решение системы будет

Пример3.

Решение. Составим характеристическое уравнение матрицы системы

Раскрывая определитель, находим

Составим систему (3) для корня

одно из которых - следствие двух других. Возьмем, например, первые два уравнения:

Отсюда

Приняв k=1/4,получаем собственный вектор (2;1;-2).

При λ=2 имеет систему

Используя первые два уравнения (третье – их следствие), находим

Полагая k=1, находим собственный вектор (7;3;-8).

При λ=3 имеет систему

Из последнего уравнения находим

Подставляем это значение p₁ в первое уравнение и находим Приняв получаем т.е. собственный вектор (3; 1; -3).

Фундаментальная система решении:

Общее решение записываем в виде

Случай 2.

Пример 1.

Решение. Составляем характеристическое уравнение

или

и находим его корни:

Подставляем

в систему (3) и определяем и :

или

Откуда

. Полагая , получаем .

Пишем решение (7):

Подставляя

в систему (3), находим:

.

Получим вторую систему решений (8):

Перепишем решения:

или

За системы частных решений можно взять отдельно действительные части и отдельно мнимые части

Общим решением системы будет

Пример 2.

Решение. Составляем характеристическое уравнение

или

Характеристические числа: λ₁=1, λ₂=i, λ₃= - i.

При λ₁=1 для определения собственного вектора получаем систему уравнений

Эта система определяет собственный вектор (1; 1; 0).

При λ₂=i получаем систему уравнений

Эта система определяет собственный вектор (1; i; 1-i).

При λ₃= - i получаем систему уравнений

Эта система определяет собственный вектор (1; -i; 1+i).

Значению λ₁=1 соответствуют решения

Значению λ₂=i соответствуют решения

Значению λ₃= - i соответствуют решения

Отделяя действительные части, получим решения

до решать

Случай 4.

Пример 1.

Решение. Характеристическое уравнение

Имеет единственный корень λ=2 (кратности 2). Ему соответствует единственный собственный вектор

Поэтому решение в этом случае будем искать в виде

Подставляя выражения для y₁ и y₂ в исходную систему, находим

Отсюда получаем систему