Метод Монте Карло и его применение (стр. 3 из 5)

Решение. Используем формулу

. По условию, a=1, b=3, . Примем для простоты число испытаний n=10.Тогда оценка , где возможные значения разыгрывается по формуле .

Результаты десяти испытаний приведены в таблице 1.

Случайные числа

взяты из таблицы приложения.

Таблица 1.

Номер i
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	0,100 0,973 0,253 0,376 0,520 0,135 0,863 0,467 0,354 0,876	1,200 2,946 1,506 1,752 2,040 1,270 2,726 1,934 1,708 2,752	2,200 3,946 2,506 2,752 3,040 2,270 3,726 2,934 2,708 3,752

Из таблицы 1 находим

. Искомая оценка

§3. Способ существенной выборки, использующий «вспомогательную плотность распределения».

В качестве оценки интеграла

принимают , где n – число испытаний; f(x) – плотность распределения «вспомогательной» случайной величины X, причём ; - возможные значения X, которые разыгрывают по формуле .

Функцию f(x) желательно выбирать так, чтобы отношение

при различных значениях x изменялось незначительно. В частности, если , то получим оценку .

Задача. Найти оценку

интеграла .

Решение. Так как

, то в качестве плотности распределения «вспомогательной» случайной величины X примем функцию . Из условия найдём . Итак, .

Запишем искомый интеграл так:

.

Таким образом, интеграл I представлен в виде математического ожидания функции

. В качестве искомой оценки примем выборочную среднюю (для простоты ограничимся десятью испытаниями):

,

где

- возможные значения X, которые надо разыграть по известной плотности . По правилу (для того, чтобы разыграть возможное значение непрерывной случайной величины X, зная её плотность вероятности f(x), надо выбрать случайное число и решить относительно уравнение

, или уравнение ,

где a – наименьшее конечно возможное значение X), имеем

. Отсюда находим явную формулу для разыгрывания возможных значений X:

.

В таблице 2 приведены результаты 10 испытаний.

Сложив числа последней строки таблицы 2, получим

. Искомая оценка равна .

Таблица 2.

Номер i
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	0,100 0,973 0,253 0,376 0,520 0,135 0,863 0,467 0,354 0,876	0,140 0,980 0,326 0,459 0,600 0,185 0,894 0,550 0,436 0,905	1,150 2,664 1,385 1,582 1,822 1,203 2,445 1,733 1,546 2,472	1,140 1,980 1,326 1,459 1,600 1,185 1,894 1,550 1,436 1,905	1,009 1,345 1,044 1,084 1,139 1,015 1,291 1,118 1,077 1,298

§4. Способ, основанный на истолковании интеграла как площади.

Пусть подынтегральная функция неотрицательна и ограничена:

, а двумерная случайная величина распределена равномерно в прямоугольнике D с основанием и высотой . Тогда двумерная плотность вероятности для точек, принадлежащих D; вне D.

В качестве оценки интеграла

принимают , где n – общее число случайных точек , принадлежащих D; - число случайных точек, которые расположены под кривой .

Задача. Найти оценку

интеграла .

Решение. Используем формулу

.

В интервале (0,2) подынтегральная функция

неотрицательна и ограничена, причём ; следовательно, можно принять c=4.

Введём в рассмотрение двумерную случайную величину (X,Y), распределённую равномерно в прямоугольнике D с основанием

и высотой с=4, плотность вероятности которой .

Разыгрываем n=10 случайных точек

, принадлежащих прямоугольнику D. Учитывая, что составляющая X в интервале (0,2) распределена равномерно с плотностью и составляющая Y в интервале (0,4) распределена равномерно с плотностью , разыграем координаты случайной точки , принадлежащей прямоугольнику D, по паре независимых случайных чисел : , .Отсюда , .

Номер i
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	0,100 0,253 0,520 0,863 0,354 0,809 0,911 0,542 0,056 0,474	0,200 0,506 1,040 1,726 0,708 1,618 1,822 1,084 0,112 0,948	0,040 0,256 1,082 2,979 0,501 2,618 3,320 1,175 0,013 0,899	3,960 3,744 2,918 1,021 3,499 1,382 0,680 2,825 3,987 3,101	0,973 0,376 ,135 0,467 0,876 0,590 0,737 0,048 0,489 0,296	3,892 1,504 0,540 1,868 3,504 2,360 2,948 0,192 1,956 1,184	1 1 1 1 1 1

Если окажется, что

, то точка лежит под кривой и в «счётчик » надо добавить единицу.