Элементы комбинаторики (стр. 3 из 6)

3. 5∙8=40 пар

4. 3∙3∙3=27

Самое большое число: 777

Самое маленькое число: 333

777 – 333 = 444 – разность

5. 24

6. 10+6=16 способами

7. 3∙2=6 способами

8. а) 60 чисел

б) 243 числа

3. Итог урока

Урок 6. Размещения

Цели:

· сформулировать определение размещений с повторениями, размещений без повторений

· закрепить на решении задач число размещений с повторениями, без повторений;

· рассмотреть понятие «кортеж», «факториал».

Оборудование: аншлаги с формулами

Ход урока

1. Сообщение темы и целей

2. Домашнее задание на карточках

1) Сколько букв русского алфавита можно закодировать, используя лишь комбинации точек и тире, содержащие только три знака? (

)

2) Переплетчик должен переплести 12 различных книг в красный, зеленый и коричневый переплеты. Сколькими способами он может это сделать? (

)

3) В классе 30 человек. Сколькими способами могут быть выбраны из них староста и казначей?

4) В чемпионате по футболу участвуют десять команд. Сколько существует различных возможностей занять командам первые три места?

3. Повторение

Решить задачу: сколькими способами можно обозначить вершины треугольника, используя буквы А,В,С,D,Eи F?(60)

4. Работа по теме.

- Вспомните, что такое кортеж? Кортеж – это множество, в котором порядок элементов строго определен.

- Мы также часто можем встретить задачи, в которых нужно сосчитать число размещений с повторениями

4.1. Понятие «размещений с повторениями»

Множества, из элементов которых составляются кортежи, могут иметь общие элементы. В частности, все они могут совпадать с одним и тем же множеством, состоящим из п-элементов.

Кортежи длины k, составленные из элементов п-множества, называют размещениями с повторениями из п элементов по k.

Число размещений с повторениями находится по формуле:

Вычислите:

;

Решение:

= 5³=125;

=3⁵=243.

Понятие «факториал»

Произведение всех чисел от 1 до nназывается факториалом и обозначается n!. В комбинаторике 0!=1 и 1!=!

Задача. Вычислите: 4!; 6!.

4!=4*3*2*1=24

6!=6*5*4*3*2*1=720

- Запишем в тетрадь таблицу

n	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
n!	2	6	24	120	720	5040	40320	362880	3628800	39916800

Правило суммы и произведения – это общие правила решения комбинаторных задач. Кроме них в комбинаторике пользуются формулами для подсчета числа отдельных видов комбинаций, которые встречаются наиболее часто.

Понятие «размещений без повторений»

Нередко встречаются задачи, в которых требуется подсчитать число размещений без повторений

Кортежи длины k, составленные из элементов п-множества, так что все элементы каждого кортежа должны быть различными, называют размещениями без повторений из п элементов по k, а их число обозначают

При этом размещения отличаются друг от друга как самими элементами, так и их порядком.

Число размещений без повторений находится по формуле:

– Итак, в примере 1 нам нужно было составить двузначные числа из известных 3 цифр. По формуле получаем

способов

Задача. Сколько трехзначных чисел можно записать, используя цифры 1,3,6,7,9, если каждая их них может быть использована в записи только один раз? Постройте дерево возможных вариантов.

Решение: по формуле получаем:

способов

– Как вы думаете, как удобнее решать эти задачи: деревом возможных вариантов или по формуле?

5.Закрепление

Задача 1. Для запирания автоматической камеры применяется секретный замок, который открывается лишь тогда, когда набрано «тайное слово». Это слово набирают с помощью пяти дисков, на каждом из которых изображено 12 букв. Сколько неудачных попыток может быть сделано человеком, не знающим секретного слова и подбирающего его наудачу?

Решение. Из условия задачи видно, что порядок выбираемых букв очень важен. Поэтому мы имеем дело с кортежем длиной 5 (пять дисков). Каждый элемент кортежа может быть выбран 12-ю способами (букв на каждом диске 12). Поэтому число комбинаций 12⁵=248 831.

Задача 2. Сколько различных четырехзначных чисел можно составить из цифр 2, 6, 7, 8 и 9, если каждая цифра может входить в комбинацию несколько раз?

Решение. Порядок цифр важен, т.к. 2678 или 6278 – это разные числа. Поэтому имеем дело с кортежем длины 4 (четырехзначное число), каждый элемент которого можно выбрать пятью способами (цифр дано пять). Следовательно, число различных комбинаций равно 4⁵=1024.

Задача 3. На референдуме предложены четыре вопроса, на которые надо ответить «да» или «нет». Сколько есть возможностей заполнения бюллетеня (на все вопросы надо дать ответ)?

Решение. Получаем кортеж длины 4 (столько вопросов в бюллетене), каждый элемент может быть выбран двумя способами («да» или «нет»). Поэтому число различных возможностей равно 2⁴=16

Задача 4. Неудовлетворенные решением Париса Гера, Афина и Афродита обратились к трем мудрецам с просьбой назвать прекраснейшую из них. Каждый из мудрецов высказал свое мнение. Сколько могло возникнуть вариантов ответа на поставленный вопрос у этой тройки? (6³=216)

Задача 5. У Лены есть восемь красок. Она хочет написать ими слова «Новый Год». Сколькими способами она может это сделать, если собирается каждую букву раскрашивать одним цветом? (8⁸=16777216)

Задача 6. Сколькими различными способами можно распределить между шестью лицами две различные путевки в санаторий?

Решение.

Задача 7. Из 20 учащихся надо выбрать старосту, его заместителя и редактора газеты. Сколькими способами это можно сделать?

Решение:

способами

Задача 8. В классе изучаются 7 предметов. В среду 4 урока, причем все разные. Сколькими способами можно составить расписание на среду?

Решение:

способов

Задача 9. В чемпионате по футболу участвуют десять команд. Сколько существует различных возможностей занять командам первые три места?

Решение:

Задача 10. Из десяти различных книг выбирают четыре для посылки. Сколькими способами это можно сделать?

Решение.

Задача 11. Для запирания сейфа на диск нанесены 12 букв, а секретное слово состоит из 5 букв. Сколько неудачных попыток может быть сделано человеком, не знающим секретного слова? (12⁵=248 832 удачных попыток, следовательно, неудачных 248 831)

6. Итог урока

Что нового узнали на уроке?

По какой формуле находится число размещений без повторений, с повторениями?

Урок 7. Тест по темам: «Размещение без повторений», «Размещение с повторениями»

Цели:

· Проверить знания по темам: «Размещение без повторений», «Размещение с повторениями» с помощью теста.

Оборудование: карточки с тестом

Ход урока

1. Сообщение темы и целей

2. Тест

1. Из 30 студентов класса надо выбрать хозяйку класса, старосту и физорга. Сколькими способами это можно сделать?

А) 24360 б) 2730 в) 6720

2. В конкурсе песен «Галерея звезд» участвуют 15 человек. Сколькими способами могут распределиться между ними места?

А) 24360 б) 2730 в) 6720

3. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 5, 6, 8, 7, 1?

А) 243 б) 2730 в) 6720

4. Для запирания сейфа на диск нанесены 12 букв, а секретное слово состоит из 5 букв. Сколько неудачных попыток может быть сделано человеком, не знающим секретного слова?

А) 248 832 б) 248 831 в) 248 833

5. Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6?

А) 24360 б) 4 096 в) 6720

6. Пять разных предметов раздают 8 людям, причем может случиться так, что некоторые получат по несколько предметов. Сколькими способами может быть произведен раздел?

А) 24360 б) 2730 в) 6720

7. Сколькими способами из колоды, содержащей 36 карт, можно выбрать по одной карте каждой масти?

А) 24360 б) 2730 в) 1 413 720

8. Сколько можно составить трехзначных чисел из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9? Рассмотрите два случая: а) цифры, входящие в одно и тоже число различны; б) среди входящих в одно и тоже число, могут быть одинаковые.

А. а)60 480 б)19 683 в) 672

Б. а)19 683 б) 60 480 в) 6720

Ответы и решения

способами

чисел

4. 12⁵=248 832 – удачных попыток, тогда неудачных 248 831.

5. 4⁶=4 096 чисел

спсобами