Знаходження таких розв’язків здійснюється теж за методом Жордана-Гаусса з деякою його модифікацією. Суть модифікації полягає ось у чому.
1. Якщо в системі (4.1) у правих частинах рівняння є величини то множенням відповідних рівнянь на –1 їх можна зробити додатними.
2. У ролі ведучих елементів треба брати лише додатні.
3. На кожному етапі перетворень у правій частині таблиць цієї останньої умови, чинять так:
а) у ролі ведучого елемента вибирають додатній елемент для конкретноготак, щоб відношення вільного члена до було найменшим
б) застосувати процедуру Жордана-Гаусса, не забуваючи на кожному етапі вибрати ведучий елемент відповідно до п.1
в) після всіх перетворень виписати розв’язок так само, як і при знаходженні довільних розв’язків. Якщо все виконувалось правильно, то невід’ємний розв’язок, якщо він існує, знайти завжди можна.
Легко довести, що при виконанні умови 1) у правій частині системи рівнянь не може появитись від’ємний елемент. Щоб переконатись у цьому розглянемо рівність : . Нехай у ньому вибрано так, що відношення - найменше з усіх подібних відношень до конкретного .
Тоді . Щоб було невід’ємним, повинно бути , про що йдеться в п.1).
Приклад 1. Знайти невід’ємний розв’язок системи рівнянь:
Р о з в ’ я з о к. Запишемо матрицю цієї системи і здійснимо ряд послідовних її перетворень:
Від 1-го і 3-го рядка віднімемо 3, а від 4-го - 0,25.
(3-й рядок поділимо на 2)
(1-й рядок поділимо на 7)
(4-й рядок помножимо на 7)
.
Відповідь:.
Базисними змінними тут є а -небазисні змінні.
Приклад 2. Розставити числові коефіцієнти в реакції
Р о з в ’ я з о к. Нехай - коефіцієнти в написаному рівнянні
Звідси
Звичайно, і ця система може бути розв’язана методом Жордана-Гаусса. Але вона така проста, що її можна розв’язати досить легко. Справді, враховуючи, що , з четвертого рівняння знайдемо, що Враховуючи це, решта рівнянь буде такою: Звідси Тоді
Отже, розв’язок має вигляд :
Щоббуло цілим, повинно бути Тоді
Таким чином, рівняння буде таким:
.
4.2.5. Теорема Кронекера-Капеллі. Однорідні системи
Розширеною матрицею системи лінійних алгебраїчних рівнянь (4.1) називається матриця (до матриці системи приєднується стовпець вільних членів)
Теорема (Кронекера-Капеллі). Система лінійних алгебраїчних рівнянь (4.1) сумісна тоді і тільки тоді, коли ранг матриці системи дорівнює рангу розширеної матриці
Ми приводимо цю теорему без доведення. Доведення див.,наприклад, в кн. Д.В.Беклемишев. Курс аналитической геометри и линейной алгебры. М.:Наука, 1984. с.165-166.
Знаходження рангу матриці див. в п.4.1.3.
Оскільки в однорідній системі лінійних алгебраїчних рівнянь завжди то така система завжди сумісна. Вона має розв’язок який називається тривіальним розв’язком. Всі попередні результати про системи лінійних рівнянь вірні і для однорідних систем.
Множина розв’язків однорідної системи має дві важливі властивості, які ми приведемо без доведення.
10. Якщо деякі стовпці і - розв’язки однорідної системи, то їх сума також є розв’язком цієї системи. Добуток розв’язку однорідної системи на довільне число є розв’язком тієї ж системи.
20. Якщо ранг матриці однорідної системи дорівнює то система має лінійно незалежних розв’язків ( кількість невідомих системи).
Приклад 1. Знайти всі розв’язки системи лінійних однорідних рівнянь:
Р о з в ’ я з о к. Ця система однорідна, але тут 4 рівняння, 5 невідомих.
Перший рядок помножимо по черзі на (-1), (-3), (-1) і додамо відповідно до 2-го, 3-го і 4-го рядків.
Четвертий рядок помножимо по черзі на 20, 11, -1 і додамо відповідно до 2-го, 3-го і 4-го рядків.
Другий рядок помножимо на (-1), 7 і додамо відповідно до 1-го і 3-го рядків.
.
З останньої таблиці маємо
або
де С-довільна константа.
Оскільки
то
Тоді система має лінійно незалежний розв’язок (одна вільна невідома, наприклад ).
Приклад 2. При яких значеннях система рівнянь
має ненульові розв’язки? Знайти ці розв’язки.
Р о з в ’ я з о к. Система рівнянь може мати ненульові розв’язки, якщо , тобто
.
Розкладемо визначник за елементами першого рядка:
.
Звідси .
Але якщо , то перше і друге рівняння виявились однаковими. Тому одне з них можна відкинути. Тоді матимемо систему
Якщо вважати вільним невідомим, то
тобто звідси . Тоді з першого рівняння матимемо . Отже, Якщо вважати
то
де - довільне число, відмінне від нуля. Надаючи величині довільних числових значень, будемо одержувати конкретні розв’язки. Як видно, система має безліч розв’язків, бо кожному відповідає якийсь розв’язок, наприклад, при матимемо