Преобразование Лапласа (стр. 1 из 4)

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра 21

Реферат на тему:

«Преобразование Лапласа»

Выполнила

студентка гр.0850

Киселева Ю.В.

Проверил:

доцент

Данейкин Ю.В.

Томск, 2008г.

Введение

Преобразование Лапласа — интегральное преобразование, связывающее функцию

комплексного переменного (изображение) с функцией действительного переменного (оригинала). С его помощью исследуются свойства динамических систем и решаются дифференциальные и интегральные уравнения.

Одной из особенностей преобразования Лапласа, которые предопределили его широкое распространение в научных и инженерных расчётах, является то, что многим соотношениям и операциям над оригиналами соответствуют более простые соотношения над их изображениями.

1. Прямое преобразование Лапласа

Преобразованием Лапласа функции действительной переменной

, называется функция комплексной переменной , такая что:

Правая часть этого выражения называется интегралом Лапласа.

2. Обратное преобразование Лапласа

Обратным преобразованием Лапласа функции комплексного переменного

, называется функция действительного переменного, такая что:

где

— некоторое вещественное число. Правая часть этого выражения называется интегралом Бромвича.

3. Двустороннее преобразование Лапласа

Двустороннее преобразование Лапласа — обобщение на случай задач, в которых для функции

участвуют значения x < 0

Двустороннее преобразование Лапласа определяется следующим образом:

4. Дискретное преобразование Лапласа

Применяется в сфере систем компьютерного управления. Дискретное преобразование Лапласа может быть применено для решётчатых функций.
Различают

-преобразование и -преобразование.

·

-преобразование

Пусть

решётчатая функция, то есть значения этой функции определены только в дискретные моменты времени

, где — целое число, а — период дискретизации. Тогда применяя преобразование Лапласа получим:

·

-преобразование

Если применить следующую замену переменных:

получим Z-преобразование:

5. Свойства и теоремы

· Абсолютная сходимость

Если интеграл Лапласа абсолютно сходится при σ = σ₀, то есть существует предел

то он сходится абсолютно и равномерно для

и F(s) — аналитическая функция при ( — действительная часть комплексной переменной s). Точная нижняя грань σ_a множества чисел σ, при которых это условие выполняется, называется абсциссой абсолютной сходимости преобразования Лапласа для функции f(x).

· Условия существования прямого преобразования Лапласа

Преобразование Лапласа

существует в смысле абсолютной сходимости в следующих случаях:

1. Случай

: преобразование Лапласа существует, если существует интеграл

2. Случай σ > σ_a: преобразование Лапласа существует, если интеграл

существует для каждого конечного

x₁ > 0 и

для

3. Случай σ > 0 или σ > σ_a (какая из границ больше): преобразование Лапласа существует, если существует преобразование Лапласа для функции f'(x) (производная к f(x)) для σ > σ_a.

Примечание: это достаточные условия существования.

· Условия существования обратного преобразования Лапласа

Для существования обратного преобразования Лапласа достаточно выполнение следующих условий:

1. Если изображение F(s) — аналитичная функция для

и имеет порядок меньше −1, то обратное преобразование для неё существует и непрерывно для всех значений аргумента, причём

для

2. Пусть

,

так что

аналитична относительно каждого z_k и равна нулю для

, и

тогда обратное преобразование существует и соответствующее прямое преобразование имеет абсциссу абсолютной сходимости.

Примечание: это достаточные условия существования.

· Теорема о свёртке

Преобразованием Лапласа свёртки двух оригиналов является произведение изображений этих оригиналов.

· Умножение изображений

Левая часть этого выражения называется интегралом Дюамеля, играющим важную роль в теории динамических систем.

· Дифференцирование и интегрирование оригинала

Изображением по Лапласу первой производной от оригинала по аргументу является произведение изображения на аргумент последнего за вычетом оригинала в нуле справа.

В более общем случае (производная n-го порядка):

Изображением по Лапласу интеграла от оригинала по аргументу является изображение оригинала деленное на свой аргумент.

· Дифференцирование и интегрирование изображения. Обратное преобразование Лапласа от производной изображения по аргументу есть произведение оригинала на свой аргумент, взятое с обратным знаком.

Обратное преобразование Лапласа от интеграла изображения по аргументу есть оригинал этого изображения, деленный на свой аргумент.

· Запаздывание оригиналов и изображений. Предельные теоремы

Запаздывание изображения:

Запаздывание оригинала:

Примечание: u(x) — Функция Хэвисайда.

Теоремы о начальном и конечном значении (предельные теоремы):

Все полюсы в левой полуплоскости. Теорема о конечном значении очень полезна, так как описывает поведение оригинала на бесконечности с помощью простого соотношения. Это, к примеру, используется для анализа устойчивости траектории динамической системы.