Экономико-математическое моделиpование (стр. 2 из 3)

х1	х2
0	50
0,1	26,11
0,2	18,48
0,3	12,93
0,4	8,411
0,5	4,529
0,6	1,088
0,7	-2,02

График №3

З А Д АЧА 4
Условие задачи.
Задана следующая экономическая ситуация. Завод выпускает изделия двух
типов А и В. При этом используется сырье четырех видов. Расход
сырья каждого вида на изготовление еденицы продукции и запасы сырья
заданы в таблице
Изделия	Сырье
1	2	3	4
А	2	1	0	2
В	3	0	1	1
Запасы сырья	21	4	6	10
Выпуск изделия А приносит 3 денежные еденицы, В - 2 денежные единицы.
Составить план производства, обеспечивающий максимальную
прибыль
а) составьте матиматическую модель задачи;
б) поясните смысл целевой функции и ограничении
Решение:
а) Математическая модель
2x1+3x2 <=21
x1 <=4
x2+ <=6
2x1+ x2 <=10
x1 >=0
x2 >=0
б) Суммарный расход каждого вида сырья на весь выпуск не должен
превышать заданного ограничения.
Валовая реализация (сумма объемов реализации по каждому виду
продукции в денежном выражении) должна стремиться при заданных
условиях к максиму
в) Решать будем симплекс методом
преобразуем неравенства в равенства, для этого введем четыре
дополнительные переменные
2x1+3x2+ x3 =21
x1 + x4 =4
x2 +x5 =6
2x1+x2+ x6 =10
f=3x1+2x2+0*x3+0*x4+0*x5+0*x6 -> max
перепишем в виде систем 0 уравнений
0= 21-(2x1+3x2+x3)
0= 4-( x1 + x4)
0= 6-( x2+ х5)
0=10-(2х1+х2+ х6)
f=0-(-3x1-2x2-0*x3-0*x4-0*x5-0*x6)
Система уравнений может быть записана в виде векторного равенства
0=В - (А1х1+А2х2+А3х3+А4х4+А5х5+А6х6)
В - свободные члены
А1…А6 коэффициенты при переменных х1…х6
Линейная форма имеет вид : f=c1x1+c2x2+c3x3+c4x4+c5x5+c6x6
Векторы А3,А4, А5,А6 составляют базис
Составляем первую симплекс таблицу
Базисный вектор	Коэф.лин. формы с	вектор св. член b	b/a	3 A1	2 A2	0 A3	0 A4	0 A5	0 A6
А3	0	21	10,5	2	3	1	0	0	0

0 4 4 1 0 0 1 0 0 A5 0 6 0 0 1 0 0 1 0 A6 0 10 5 2 1 0 0 0 1 индексная строка fj-сj 0 -3 -2 Решение: х1=0,х2=0,х3=21,х4=4,х5=6,х6=10 f=0 Так как в индексной строке есть отрицательные элементы -решение не является оптимальным. A1 вводим в базис вместо вектора А4 Базисный вектор Коэф.лин. формы с вектор св. член b b/a 3 A1 2 A2 0 A3 0 A4 0 A5 0 A6 A3 0 13 4 1/3 0 3 1 -2 0 0 A1 3 4 0 1 0 0 1 0 0 А5 0 6 6 0 1 0 0 1 0

A6

0 2 2 0 1 0 -2 0 1 индексная строка fj-сj 0 -2 0 3 0 0 Решение: х1=4,х2=0,х3=13,х4=0,х5=6,х6=2 f=12 Так как в индексной строке есть отрицательные элементы -решение не является оптимальным. A2 вводим в базис вместо вектора А6 Базисный вектор Коэф.лин. формы с вектор св. член b b/a 8 A1 7 A2 6 A3 0 A4 0 A5 0 A6

A3

0 7 1 3/4 0 0 1 4 0 -3 A1 3 4 4 1 0 0 1 0 0 А5 0 4 2 0 0 0 2 1 -1 A2 2 2 -1 0 1 0 -2 0 1 индексная строка fj-сj 0 0 0 -1 0 2 Решение: x1=4, x2=2; x3=7; x4=0;x5=4;x6=0 f=12 Так как в индексной строке есть отрицательные элементы -решение не является оптимальным. A4 вводим в базис вместо вектора А3 Базисный вектор Коэф.лин. формы с вектор св. член b b/a 8 A1 7 A2 6 A3 0 A4 0 A5 0 A6 A4 0 1 3/4 0 0 1/4 1 0 - 3/4 A1 3 2 1/4 1 0 - 1/4 0 0 3/4 А5 0 1/2 0 0 - 1/2 0 1 1/4 A2 2 5 1/2 0 1 1/2 0 0 -1 1/2 индексная строка fj-сj 0 0 1/4 0 0 1 1/4 Решение: x1=2,25, x2=5,5; x3=0; x4=1 3/4;x5=1/2;x6=0 f=17,75 В индексной строке нет отрицательных элементов, следовательно дальнейшее увеличение значения линейной формы невозможно мы получили оптимальную программу Максимальная прибыль достигается при изготовлении первого вида продукции 2,25 у.е., а второго 5,5 у.е. Так как нам не было задано условие целочисленности, такие значения допустимы, например в качестве условных едениц - тысячи тонн.

ЗАДАЧА 5
Наити максимум функции F при заданных ограничениях
F = x1+2x2 ->max
3x1+x2 >=3		(1)
3x1-x2 <=0		(2)
x1-x2 >=3		(3)
x1>=0	(4)
x2>=0	(5)
Решить графическим методом
Решение
1.Из условия знакоположительности - первой допустимой областью
решения является первая четверть декартовой системы координат
2. Построим области допустимых значений, для этого построим линии
для каждого из уравнений
3x1+x2 =3
3x1-x2 =0
x1-x2 =3
и линию для функции f
x1+2x2 =0
3. Наидем область допустимых значений
4. Как видно на графике области допустимых значений для
ограничении (1),(2) и (3) не пересекаются, значит система не имеет
допустимых решений. Ограничения противоречивы.
5.Для того чтобы система была решаема, она должна быть например
такой	F = x1+2x2 ->max
3x1+x2 <=3
3x1-x2 <=0
x1-x2 <=3
x1>=0
x2>=0
Тогда область допустимых решений - треугольник АВС
И функция F достигает максимума в точке С (0;3) и F=6