Повторные и независимые испытания. Теорема Бернулли о частоте вероятности (стр. 2 из 3)
, 
.Следовательно, искомая вероятность
.№7.Среди деталей, обрабатываемых рабочим, бывает в среднем 4% нестандартных. Найти вероятность того, что среди взятых на испытание 30 деталей две будут нестандартными.
Решение.Здесь опыт заключается в проверке каждой из 30 деталей на качество. Событие А - "появление нестандартной детали", его вероятность
, тогда 
. Отсюда по формуле Бернулли находим 
.№8.При каждом отдельном выстреле из орудия вероятность поражения цели равна 0,9. Найти вероятность того, что из 20 выстрелов число удачных будет не менее 16 и не более 19.
Решение.Вычисляем по формуле Бернулли:
№9.Независимые испытания продолжаются до тех пор, пока событиеАне произойдетkраз. Найти вероятность того, что потребуетсяnиспытаний (n і k), если в каждом из них
.Решение.СобытиеВ– ровноnиспытаний доk-го появления событияА– есть произведение двух следующий событий:
D – вn-ом испытанииАпроизошло;
С – в первых(n–1)-ом испытанияхАпоявилось(к-1)раз.
Теорема умножения и формула Бернулли дают требуемую вероятность:
.№10.Из n аккумуляторов за год хранения k выходит из строя. Наудачу выбирают m аккумуляторов. Определить вероятность того, что среди них l исправных. n = 100, k = 7, m = 5, l = 3.
Решение:Имеем схему Бернулли с параметрами p=7/100=0,07 (вероятность того, что аккумулятор выйдет из строя), n = 5 (число испытаний), k = 5-3 =2 (число "успехов", неисправных аккумуляторов). Будем использовать формулу Бернулли (вероятность того, что в n испытаниях событие произойдет k раз).
Получаем
№11.Устройство, состоящее из пяти независимо работающих элементов, включается за время Т. Вероятность отказа каждого из них за это время равна 0,2. Найти вероятность того, что откажут: а) три элемента; б) не менее четырех элементов; в) хотя бы один элемент.
Решение:Имеем схему Бернулли с параметрами p = 0,2 (вероятность того, что элемент откажет), n = 5 (число испытаний, то есть число элементов), k (число "успехов", отказавших элементов). Будем использовать формулу Бернулли (вероятность того, что для n элементов отказ произойдет в k элементах):
. Получаем а) 
- вероятность того, что откажут ровно три элемента из пяти. б) 
- вероятность того, что откажут не менее четырех элементов из пяти (то есть или четыре, или пять). в) 
- вероятность того, что откажет хотя бы один элемент (нашли через вероятность противоположного события - ни один элемент не откажет).№12.Сколько следует сыграть партий в шахматы с вероятностью победы в одной партии, равной 1/3, чтобы наивероятнейшее число побед было равно 5?
Решение:Наивероятнейшее число побед k определяется из формулы
Здесь p =1/3 (вероятность победы), q = 2/3 (вероятность проигрыша), n - неизвестное число партий. Подставляя данные значения, получаем: 
Получаем, что n = 15, 16 или 17.
3. Локальная формула Муавра-Лапласа
Легко видеть, что пользоваться формулой Бернулли при больших значениях n достаточно трудно, так как формула требует выполнения действий над громадными числами. Естественно, возникает вопрос: нельзя ли вычислить интересующую нас вероятность, не прибегая к формуле Бернулли.
В 1730 г. другой метод решения при p=1/2 нашел Муавр; в 1783 г. Лаплас обобщил формулу Муавра для произвольного p, отличного от 0 и 1.
Эта формула применяется при неограниченном возрастании числа испытаний, когда вероятность наступления события не слишком близка к нулю или единице. Поэтому теорему, о которой идет речь, называют теоремой Муавра-Лапласа.
Теорема Муавра-Лапласа. Если вероятность p появления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность
того, что событие А появится в n испытаниях ровно k раз, приближенно равна(тем точнее, чем больше n) значению функции 
При
.Имеются таблицы, в которых помещены значения функции
,соответствующие положительным значениям аргумента x(см. приложение1). Для отрицательных значений аргумента пользуются теми же таблицами, так как функция
четна, т.е. 
.Итак, вероятность того, что событие A появится в n независимых испытаниях ровно k раз, приближенно равна
,где
.№13. Найти вероятность того, что событие А наступит ровно 80 раз в 400 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,2.
Решение. По условию n=400; k=80; p=0,2; q=0,8. Воспользуемся формулой Лапласа:
.Вычислим определяемое данными задачи значение x:
.По таблице приложения1 находим
.Искомая вероятность
.№14. Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле p=0,75.
Найти вероятность того, что при 10 выстрелах стрелок поразит мишень 8 раз.
Решение. По условию n=10; k=8; p=0,75; q=0,25.
Воспользуемся формулой Лапласа:
.Вычислим определяемое данными задачи значение x:
.По таблице приложения1 находим
Искомая вероятность
.№15. Найти вероятность того, что событие А наступит ровно 70 раз в 243 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,25.
Решение. По условию n=243; k=70; p=0,25; q=0,75. Воспользуемся формулой Лапласа:
.Найдем значение x:
.По таблице приложения1 находим
.Искомая вероятность
.№16. Найти вероятность того, что событие А наступит 1400 раз в 2400 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,6.
Решение. По условию n=2400; k=1400; p=0,6; q=0,4. Как и в предыдущем примере, воспользуемся формулой Лапласа:
Вычислим x:
.По таблице приложения1 находим
Искомая вероятность
.4. Формула Пуассона
Эта формула применяется при неограниченном возрастании числа испытаний, когда вероятность наступления события достаточно близка к 0 или 1.
,где
.Доказательство.
. 
.Таким образом получили формулу:
.Примеры
№17. Вероятность изготовления негодной детали равна 0,0002. Найти вероятность того, что среди 10000 деталей только 2 детали будут негодными.