Неопределенные бинарные квадратичные формы (стр. 7 из 7)

Не вдаваясь в эту сложную теорию Гаусса, мы приведем его результаты о числе родов и о числе классов в каждом роде.

Каждый род собственно примитивного порядка содержит одно и то же число классов,

, где — число родов, — число всех классов, — число классов в каждом роде.

Если для каждого квадратного делителя

дискриминанта выполнены условия:

НОД

, простого ,

то для числа

классов неопределенных квадратичных форм дискриминанта в каждом роде собственно примитивного порядка выполняется неравенство

Примем

за собственно примитивную форму дискриминанта .

НОД

.Она является целым числом , т.е. при некоторых целых и . , где — целое число. Значит, символ Лежандра числа равен

При любом

получаем

Это говорит о том, что форма

принадлежит главному роду. Число форма приравнивается числу квадратных делителей дискриминанта с условием НОД

Тогда получаем:

с условием

Такая оценка справедлива также для числа классов всех остальных родов

— диагональная форма дискриминанта . Эта форма не эквивалентна никакой другой диагональной форме того же дискриминанта.

Предположим, что

(1)

дискриминанта

собственно эквивалентна другой диагональной форме.

(2)

того же дискриминанта

.

Определим целочисленную унимодулярную подстановку

.

Эта подстановка заменяет форму

в форму .

Получаем:

, (3)

где

(4)

Преобразуя данные выражения находим

Однако необходимо форму

(5) привести к диагональной. Для это перепишем форму :

. (6)

В связи с тем, что

имеет тот же дискриминант, что и получим:

, (7)

и аналогично

;

;

(8)

Принимая во внимание условие, указанное выше форма (8) будет иметь вид:

, что противоречит условию (4).

Число родов бинарных квадратичных форм в данном собственно примитивном порядке дискриминанта

равно , где определяется следующими условиями:

при ,

при ,

при ,

при этом

— число различных простых делителей числа .

Данное высказывание используется в оценке снизу числа классов в роде неопределенных бинарных квадратичных форм собственно примитивного порядка.

Список литературы

Бухштаб А. А. Теория чисел. М., 1966.

Гаусс К. Ф. Труды по теории чисел. Изд-во АН СССР, М., 1959.

Венков Б. А. Элементарная теория чисел. М-Л., 1937.

Виноградов И. М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. М., «Наука», 1980.

Чандрасекхаран К. Введение в аналитическую теорию чисел. М., Мир. 1974.

Виноградов И. М. Основы теории чисел. М., Наука. 1972 с. 267