Методы оптимизации при решении уравнений (стр. 1 из 2)
Контрольная работа
«Методы оптимизации при решении уравнений»
Задание №1
Определить, существует ли кривая
, доставляющая функционалу экстремум и, если существует, то найти ее уравнение. 
Решение: Составим уравнение Эйлера и найдём его общее решение:
Используем краевые условия:
Решаем систему уравнений и получаем:
Таким образом, экстремаль имеет уравнение вида
Так как
то функционал на прямой
достигает минимума.Задание №2
Найти, используя уравнение Эйлера-Лагранжа, оптимальное управление
, минимизирующее функционал 
для системы, описываемой уравнениями 
,при начальных и конечных условиях соответственно:
| A | B | t0 | tf | x0 | xf | a | b |
| 0 10 0 | 01 | 0 | 1 | 10 | 00 | 0 | 1 |
Решение
Формируем задачу по исходным данным:
(1)
(2) 
Составим функцию Лагранжа и гамильтониан:
и соответственно уравнения Эйлера-Лагранжа (здесь для Н):
(3) 
(4)Используя замену (3), подставим выражения (4) во второе уравнение динамики в (1):
и находим общее решение
(5)Подставим его в первое уравнение (1):
и находим общее решение:
(6)Для
из (6) и 
из (5) используем начальные и конечные условия и получаем систему уравнений для констант С1, С2, С3, С4,: 
Таким образом, решение имеет вид:
которое удовлетворяет начальным и конечным условиям.
Задание №3
Для системы, описываемой уравнениями
с заданными условиями на начальное
и конечное 
значение координат, найти оптимальное управление , минимизирующее функционал 
| A | B | t0 | tf | x0 | xf | g0 | a | b |
| 0 10 0 | 01 | 0 | t | 10 | x1(tf) = -tf2 | 0 | 0 | 1 |
Решение. Формулируем задачу по исходным данным
(1) 
(2)т.е.
,подвижна на правом конце, координата 
- свободна на правом конце,
Составим функцию Гамильтона Н (или функцию Лагранжа L)
(3)и соответствующие уравнения Эйлера-Лагранжа:
(4) 
(5) 
(6)Составим вспомогательную функцию
,где
.Таким образом: 
. (7)Поскольку
и 
подвижны, то используем условия трансверсальности:
(8) 
(9)Так как не фиксирован момент времени
, то используем условие трансверсальности 
Найдем значение
при 
из (3), но учтем, что 
, а 
из (9). Тогда, учитывая (4): 
и используя (10) получим:
(11)Подставляя (4), (5) и (6) в (2), а потом в (1) и интегрируя получим:
(12),
(13)Используя начальные условия, можем записать:
Запишем условие
с учетом (13). Тогда: 
(14)Уравнения (9), (11) и (14) составляют систему уравнений с тремя неизвестными С1, С2 и
: 
Подставляя 1-е уравнение во 2-е, получим:
,а подставляя 1-е в третье, получим:
Таким образом, решение имеет вид:
Задание №4
Используя метод динамического программирования найти оптимальное уравнение для системы
| A | B | t0 | tf | F | a | b |
| 0 10 0 | 01 | 0 | ∞ | 0 | 1 00 2 | 1 |
Решение:
Формируем задачу по исходным данным.
(1) – не ограничено, то есть 
. 
Составим уравнение Беллмана с учетом того, что
(S-функция Беллмана) 
(2) 
(3) 
(4)