Матричный анализ (стр. 4 из 5)

ЧТД.

Опишем следующие свойств компонентных матриц, которые в некоторой степени обобщают свойства сопровождающих матриц.

Теорема. Компонентные матрицы

обладают следующими свойствами:

1.

2.

3.

4.

.

Замечание. Для того, чтобы найти компонентные матрицы для f(x) определенной на спектре матрицы А необходимо и достаточно знать базисные многочлены, входящие в интерполяционный многочлен, однако нахождение интерполяционного многочлена f(x) связано с некоторыми трудностями, а поэтому будем вычислять компонентные матрицы подбирая соответствующим образом системы функций.

Пример: Найти компоненты для матрицы

.

.

Пусть f(x) определена на спектре А, тогда согласно спектральной теореме

.

1. f(x)=1

E=1Z₁₁+0Z₁₂+1Z₂₁=Z₁₁+Z₂₁

2. f(x)=x-4

A-4E=0Z₁₁+1Z₁₂₊(-2₎Z₂₁=Z₁₂-2Z₂₁

3. f(x)=(x-4)²

(A-4E)²=4Z₂₁

.

Таким образом, для любой функции f(x), определенное на спектре матрицы А

.

Пример 2.

Найти компоненты для матрицы

.

Найдем минимальный многочлен матрицы А.

1. f(x)=1

E=Z₁₁+Z₂₁+Z₃₁

2. f(x)=x+1

(A+E)=2Z₂₁+Z₃₁+Z₁₂

3. f(x)=(x+1)²

(A+E)²=4Z₂₁+Z₃₁

4. f(x)=x-1

A-E=-2Z₁₁+Z₁₂-Z₃₁

1. f(x)=1 E=Z₁₁+Z₂₁+Z₃₁

2. f(x)=x+1 A+E=Z₁₁Z₂₂+2Z₃₁

3. f(x)=(x+1)² (A+E)²=Z₁₁+4Z₃₁

4. f(x)=x-1 (A-E)=-Z₁₁-2Z₂₁+Z₂₂

Z₃₁=A

-Z₂₂=(A+E)²-E-3A

Z₁₂=Z₂₂

Z₁₁=(E-A)-Z₂₂

6.Определенные матрицы.

Эрмитовы и квадратичные матрицы.

Пусть А – эрмитова матрица (А^*=А).

Рассмотрим функцию h(x) – действительная функция комплексного аргумента.

Рассмотрим:

DF. Функция

, где А – эрмитова матрица, называется эрмитовой формой от n переменных x₁, …, x_n, где А – матрица эрмитовой формы.

Очевидно, что если А – действительная симметрическая матрица, то в этом случае получаем квадратичную форму

.

Для каждой эрмитовой (квадратичной) формы инвариантами являются: ранг (число не нулевых коэффициентов в квадратичной форме нормального вида совпадающих с рангом матрицы А), p (индекс) – число положительных коэффициентов в квадратичной форме нормального вида, оно совпадает с числом положительных собственных значений, сигнатура. Эти числа r, p, гр-r не зависят от тех преобразований, которые совершаются над данными формами.

В дальнейшем ограничимся рассмотрением только квадратичных форм. Нас интересуют 2 семейства матриц.

DF. Действительная симметрическая матрица А называется положительно определенной, если

для .

DF. Действительная симметрическая матрица А называется неотрицательно определенной, если

для .

Оба типа матриц относятся к классу определенных матриц. Заметим, что положительно определенная матрица невырожденная, т.е. если предположить, что она вырожденная, то

, , что противоречит условию.

Теорема № 1. Действительная симметрическая матрица n-го порядка будет определенной ранга

тогда и только тогда , когда она имеет r положительных собственных значений, а остальные (n-r) – собственные значения равны 0.

Теорема № 2. Действительная симметрическая матрица положительна определена тогда и только тогда, когда все ее главные миноры положительны.

Теорема № 3. Действительная симметрическая матрица положительно определена тогда и только тогда, когда все ее главные миноры положительны.

7.Неотрицательные матрицы.

DF. Матрица

называется неотрицательной, если каждый ее элемент положителен.

Квадратные матрицы такого типа возникают во множестве задач и это определяющее свойство приводит к сильным результатам об их строении. Теорема Фробениуса-Перона является основным результатом для неотрицательных матриц.

Пусть матрицы

. Будем говорить, что , если б в частности A>B, если .

Вспомним матрицу перестановки

, т.е. матрицы перестановки обязательно ортогональны. Произведение приводит к перестановке столбцов матрицы А.

DF. При

матрица называется приводимой матрицей, если существует такая матрица перестановки Р, что совподает с матрицей , где А₁₁, А₁₂, А₂₂ – квадратные матрицы меньшего чем n порядка. Если матрица Р не существует, то матрица А называется неприводимой.

Понятие приводимости имеет значение при решении матричных уравнений

, ибо если Ф – приводима, то осуществив замену переменных, которую подсказывают равенства , получаем

, где , .

и решаем матричное уравнение с матрицей более низкого порядка. Затем, и решаем матричное уравнение. Таким образом, если А – приводима, то решение уравнения высокого порядка сводится к решению уравнений более низкого порядка, при чем собственные значения матриц А₁₁ и А₂₂ в своей совокупности составляет множество значений матрицы А.