Аналитическая геометрия 2 (стр. 2 из 6)

Решение.

1) По условию

есть уравнение высоты треугольника, значит, её нормальный вектор является направляющим вектором стороны ВС.

(ВС).

2) Обозначим координаты вершины А через x₁, y₁: A(x₁; y₁). Так как точка М(х; у) середина отрезка АВ, то

Так как точка М(х; у) лежит на медиане, то её координаты удовлетворяют уравнению Кроме того, точка А лежит на высоте h: , значит, координаты точки A(x₁; y₁) удовлетворяют этому уравнению. Получаем линейную алгебраическую систему двух уравнений с двумя неизвестными:

Отсюда находим х₁=-4, у₁=1, А(-4; 1).

3) Найдем уравнение стороны АВ треугольника как уравнение прямой, проходящей через В(2; -7) параллельно вектору

(АВ).

4) Найдем координаты вершины С как точки пересечения прямых (ВС) и (m):

отсюда С(5; -6).

5) Уравнение стороны АС как уравнение прямой, проходящей через две данные точки: А(-4; 1) и С(5; -6);

(АС).

Ответ: (ВС)

, (АВ) ,

(АС)

.

Пример 5. Составить уравнение биссектрис углов между прямыми

.

Решение.

Точка М(х, у) лежит на одной из биссектрис углов, образованных данными прямыми тогда и только тогда, когда расстояние d₁ и d₂ от этой точки М до данных прямых равны между собой: d₁=d₂ , т.е.

Значит, уравнение одной из биссектрис имеет вид:

, а уравнение другой или

Ответ:

Пример 6. Составить уравнение биссектрисы того угла между двумя прямыми

в котором лежит точка А(2; -1).

Решение.

Подставляя координаты точки А в левые части уравнения прямых, получим 2+7(-1)+3<0, 2-1+2>0. Значит, точка А лежит в тех полуплоскостях от данных прямых, для координат точек которых

Искомая биссектриса проходит, следовательно, в тех областях, для координат точек которых функции и имеют разные знаки. Значит, уравнение искомой биссектрисы: или

Ответ:

Плоскость

1)

уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно нормальному вектору

2)

общее уравнение плоскости, - нормальный вектор этой плоскости.

3)

уравнение плоскости в отрезках, где a, b, c – величины направленных отрезков, отсекаемых плоскостью на координатных осях Ох, Оу, Оz соответственно;

4) Пусть даны две плоскости

В качестве угла

между плоскостями и принимается угол между их нормальными векторами: или в координатной форме

5) Условие перпендикулярности двух плоскостей

и : или в координатной форме: .

6) Условие параллельности двух плоскостей

и :

7) Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки :

М₁(х₁; y₁; z₁), М₂(х₂; y₂; z₂), М₃(х₃; y₃; z₃):

или в координатной форме:

8) Если плоскость

задана общим уравнением а - некоторая точка пространства, то есть формула расстояния от точки М₀ до плоскости .

9) Совокупность всех плоскостей, проходящих через одну и ту же прямую, называется пучком плоскостей.

Если

и есть уравнения двух различных непараллельных плоскостей, пересечением которых служит некоторая прямая L, а числа любые не равные одновременно нулю, то есть уравнение плоскости, проходящей через прямую L. Более того, какова бы ни была проходящая через прямую L плоскость, она может быть определена из пучка плоскостей при определенных значениях .

Пример 1. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку М₁(2; 1; -1) и имеет нормальный вектор

Решение.

Для вывода уравнения плоскости возьмем на этой плоскости точку М(x; y; z) с текущими координатами. Получим вектор