Решение задач по теории вероятности (стр. 13 из 16)
5.9. Найти закон распределения суммы двух независимых случайных величин, каждая из которых распределена по стандартному нормальному закону, т.е. N(0,1).
5.10. Двумерная случайная величина определяется следующим образом. Если при подбрасывании игральной кости выпадает четное число очков, то Х = 1, в противном случае X = 0; Y = 1, когда число очков кратно трем, в противном случае Y=0. Найти:
а) законы распределения двумерной случайной величины (X, Y) и ее одномерных составляющих;
б) условные законы распределения Х и Y.
5.11. Двумерная случайная величина (X, Y) распределена с постоянной совместной плотностью внутри квадрата ОАВС, где O(0;0), A(0;1), B(1;1), С(1;0). Найти выражение совместной плотности и функции распределения двумерной случайной величины (X, Y).
5.12. Поверхность распределения двумерной случайной величины (X, Y) представляет прямой круговой конус, основанием которого служит круг с центром в начале координат и с радиусом 1. Вне этого круга совместная плотность двумерной случайной величины (X, Y) равна нулю. Найти выражения совместной плотности φ(х, у), плотностей вероятностей одномерных составляющих φ1(x), φ2 (y), условных плотностей φx(y), φy(x). Выяснить, являются ли случайные величины X и Y. зависимыми; коррелированными.
5.13. Двумерная случайная величина (X, Y) распределена по закону
Найти:
а) коэффициент А;
б) вероятность попадания случайной величины (X, Y) в пределы квадрата, центр которого совпадает с началом координат, а стороны параллельны осям координат и имеют длину 2.
Установить, являются ли величины X и Y зависимыми; найти φ1(х), φ2(y).
5.14. Совместная плотность двумерной случайной величины (X, У) имеет вид
Найти:
а) постоянную С;
б) плотности вероятности одномерных составляющих;
в) их условные плотности;
г) числовые характеристики ах, ау, D(Х), D(Y), ρ.
5.15. Найти совместную плотность двумерной случайной величины (X, Y) и вероятность ее попадания в область D – прямоугольник, ограниченный прямыми х = 1, х = 2,у = 3, у = 5, если известна ее функция распределения (X, Y):
5.16. Задана совместная плотность двумерной случайной величины (X, Y):
.Найти функцию распределения F(x,y).
5.17. Имеются независимые случайные величины X и Y. Случайная величина X распределена по нормальному закону с параметрами ах = 0,
. Случайная величина Y распределена равномерно на интервале (0;1). Найти выражения совместной плотности и функции распределения двумерной случайной величины (X, Y).5.18. Совместная плотность двумерной случайной величины (X, Y) задана формулой:
Найти ax, ay,
, 
, ρ.5.19. Независимые случайные величины X, Y распределены по нормальным законам с параметрами ax = 2, ay = -3,
= 1, = 4. Найти вероятности событий:а) (X < ax)(Y < ay);
б) Y < X-5;
в)(│X│< 1)(│Y│< 2).
5.20. Задана плотность вероятности φ(х) случайной величины Х, принимающей только положительные значения. Найти плотность вероятности случайной величины Y, если:
а) Y = e-x;
б) Y = lnX;
в) Y = X3;
г) Y = 1/X2;
д) Y =
.5.21. Случайная величина Х равномерно распределена в интервале (-π/2; π/2). Найти плотность вероятности случайной величины Y = sinX.
5.22. Случайная величина распределена по закону Релея с плотностью вероятности
Найти закон распределения случайной величины Y = 
.
5.23. Случайная величина Х распределена по закону Коши с плотностью вероятности
.Найти плотность вероятности обратной величины Y = 1/X.
5.24. Дискретная случайная величина Х имеет ряд распределения
| xi | -1 | 0 | 1 | 2 |
| pi | 0,2 | 0,1 | 0,3 | 0,4 |
Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Y= 2х
5.25. Имеются две случайные величины X и Y, связанные соотношением Y = 2 – ЗХ. Числовые характеристики случайной величины X заданы ах= -1; D(X) = 4. Найти:
а) математическое ожидание и дисперсию случайной величины Y;
б) ковариацию и коэффициент корреляции случайной величин Х и Y.
5.26. Случайная величина X задана плотностью вероятности φ(x) = cosx в интервале (0, π/2); вне этого интервала φ(x) = 0. Найти математическое ожидание случайной величины Y= X2.
5.27. Случайная величина X распределена с постоянной плотностью вероятности в интервале (1;2) и нулевой плотностью вне этого интервала. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Y = 1/x
5.28. Непрерывная случайная величина X распределена в интервале (0;1) по закону с плотностью вероятности
Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Y= X2.
5.29. Непрерывная случайная величина распределена по показательному закону с параметром Х = 2. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Y= e-X.
5.30. Случайная величина X распределена по нормальному закону с параметрами а = 0, σ2= 5. Найти математическое ожидание случайной величины Y=1 - ЗХ2 + 4Х3.
5.31. Имеются две независимые случайные величины X и Y. Величина X распределена по нормальному закону с параметрами ах= 1,
= 4. Величина Y распределена равномерно в интервале (0;2). Найти:а) М(Х - У), D(Х - Y);
б) M(X2), M(Y2).
6 ГЛАВА
Закон больших чисел и предельные теоремы
В главе рассматриваются:
- неравенство Маркова;
- неравенство Чебышева;
- теоремы Чебышева и Бернулли;
- центральная предельная теорема.
Типовые задачи
Пример 6.1
Среднее количество вызовов, поступающих на коммутатор завода в течении часа, равно 300. Оценить вероятность того, что в течение следующего часа число вызовов на коммутатор:
а) превысит 400;
б) будет не более 500.
Решение
а) По условию М(Х) = 300. По формуле (6.1.) Р(Х > 400) ≤
, т.е. вероятность того, что число вызовов превысит 400, будет не более 0,75.б) По формуле (6.3) Р(Х ≤ 500) ≥
= 0,4, т.е. вероятность того, что число вызовов не более 500, будет не менее 0,4.Пример 6.2
Сумма всех вкладов в отделение банка составляет 2 млн.руб., а вероятность того, что случайно взятый вклад не превысит 10 тыс.руб., равна 0,6. Что можно сказать о числе вкладчиков?
Решение
Пусть Х – размер случайно взятого вклада, а n – число всех вкладов. Тогда из условия задачи следует, что средний размер вклада М(Х) =
тыс.руб. Согласно неравенству Маркова (6.3): 
или 
Учитывая, что Р(Х ≤ 10) = 0,6, получим
, откуда n ≤ 500, т.е. число вкладчиков не более 500.Пример 6.3
Средний расход воды на животноводческой ферме составляет 1000 л в день, а среднее квадратичное отклонение этой случайной величины не превышает 200 л. Оценить вероятность того, что расход воды на ферме в любой выбранный день не превзойдет 2000 л, используя:
а) неравенство Маркова;
б) неравенство Чебышева.
Решение
а) Пусть X – расход воды на животноводческой ферме (л). По условию М(Х) = 1000. Используя неравенство Маркова (6.3), получим Р(Х < 2000) > 1*1000/2000 = 0,5, т.е. не менее, чем 0,5.