Определение оптимального плана замены оборудования 2 (стр. 3 из 5)
Из графика видно, что затраты на содержание и ремонт оборудования в планируемом периоде с каждым годом растут, потому что оборудование стареет.
Данная задача относится к задачам динамического программирования, потому что выполняются два условия это: аддитивность целевой функции; отсутствие последствия, которое строится на принципе оптимальности Беллмана.
В этой задаче в качестве системы S выступает оборудование. Состояние этой системы определяются фактическим временем использования оборудования (его возрастом) t, то есть описываются единственным параметром t.
В качестве управлений выступают решения о замене и сохранении оборудования, принимаемые в начале каждого года. Обозначим через Xc решение о сохранении оборудования, а через Xз – решение о замене оборудования. Тогда задача состоит в нахождении такой стратегии управления, определяемой решениями, принимаемыми к началу каждого года, при которой общая прибыль предприятия за восемь лет является максимальной.
Эта задача обладает свойствами аддитивности и отсутствия последействия. Следовательно, ее решение можно найти с помощью алгоритма, реализуемого в два этапа. На первом этапе при движении от начала 10-го года периода к началу 1-го года для каждого допустимого состояния оборудования найдем условное оптимальное управление (решение), а на втором этапе при движении от начала 1-го года периода к началу 10-года из условных оптимальных решений для каждого года составим оптимальный план замены оборудования на десять лет.
Для определения условных оптимальных решений сначала необходимо составить функциональное уравнение Беллмана. Так как было предположено, что к началу k-го года (k=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) может приниматься только одно из двух решений – заменять или не заменять оборудование.
2.1. Нахождение условного оптимального решение задачи
Используя теперь уравнение (1.2) , находим решение исходной задачи. Это решение начинается с определения условно оптимального управления (решения) для последнего (10-го) года периода, в связи с чем находим множество допустимых состояний оборудования к началу данного года. Так как к началу периода имеется новое оборудование (t =0), то возраст оборудования к началу 10-го года может составлять 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 лет. Для каждого из этих состояний найдем условно оптимальное решение и соответствующее значение функции Z*10(t).
Xc 
Xc 
Xc 
Xc 
Xc 
Xc 
Xc 
Xc 
XcПолученные результаты сведены в таблицу 2.2.
Таблица 2.2
Возможное состояние оборудование к началу 10-го года периода
| Возраст оборудования t (лет) | Значения функции Z*10(t) (тыс.д.ед.) | Условно оптимальное решение Х |
| 1 | 8,99 | Xc |
| 2 | 8,06 | Xc |
| 3 | 6,89 | Xc |
| 4 | 6,07 | Xc |
| 5 | 6,14 | Xc |
| 6 | 4,04 | Xс |
| 7 | 3 | Xс |
| 8 | 0,89 | Xс |
| 9 | 0,14 | Xс |
Рассмотрим возможное состояние оборудование к началу 9-го года периода и найдем соответствующие значения функции Z*9(t).
Полученные результаты записаны в таблице 2.3.
Таблица 2.3
Возможное состояние оборудование к началу 9-го года периода
| Возраст оборудования t (лет) | Значения функции Z*9(t) (тыс.д.ед.) | Условно оптимальное решение Х |
| 1 | 17,05 | Xc |
| 2 | 14,95 | Xc |
| 3 | 12,96 | Xс |
| 4 | 12,21 | Xс |
| 5 | 10,18 | Xс |
| 6 | 8,92 | Xз |
| 7 | 8,92 | Xз |
| 8 | 8,92 | Xз |
Определим условно оптимальное решение для каждого из допустимых состояний оборудования к началу 8-го года периода.
Полученные результаты сведены в таблицу 2.4
Таблица 2.4
Возможное состояние оборудование к началу 8-го года периода
| Возраст оборудования t (лет) | Значения функции Z*8(t) (тыс.д.ед.) | Условно оптимальное решение Х |
| 1 | 23,94 | Xc |
| 2 | 21,02 | Xc |
| 3 | 19,10 | Xc |
| 4 | 16,98 | Xз |
| 5 | 16,98 | Xз |
| 6 | 16,98 | Xз |
| 7 | 16,98 | Xc,Xз |
Рассмотрим возможное состояние оборудование к началу 7-го года периода и найдем соответствующие значения функции Z*7(t).
Полученные результаты записаны в таблице 2.5.
Таблица 2.5
Возможное состояние оборудование к началу 7-го года периода
| Возраст оборудования t (лет) | Значения функции Z*7(t) (тыс.д.ед.) | Условно оптимальное решение Х |
| 1 | 30,01 | Xc |
| 2 | 27,16 | Xc |
| 3 | 23,87 | Xз,Xс |
| 4 | 23,87 | Xз |
| 5 | 23,87 | Xз |
| 6 | 23,87 | Xз |
Определим условно оптимальное решение для каждого из допустимых состояний оборудования к началу 6-го года периода.
В соответствии с уравнением (1.2) имеем:
Xc, XзИз значения функции Z*6(4) видно, что если к началу 6-го года периода возраст оборудования составляет 4 года, то независимо от того, будет ли принято решение Xc или Xз, величина прибыли окажется одной и той же. Это означает, что в качестве условно оптимального решения можно взять любое. Полученные значения для Z*6(t) записаны в таблице 2.6.
Таблица 2.6
Возможное состояние оборудование к началу 6-го года периода
| Возраст оборудования t (лет) | Значения функции Z*6(t) (тыс.д.ед.) | Условно оптимальное решение Х |
| 1 | 36,15 | Xc |
| 2 | 31,93 | Xc |
| 3 | 30,76 | Xс |
| 4 | 29,94 | Xс,Xз |
| 5 | 30,01 | Xс |
Рассмотрим возможное состояние оборудования к началу 5-го года и найдем для каждого из них условно оптимальное решение и соответствующее значение функции Z*5(t).