Кратные интегралы (стр. 3 из 3)
Подобным образом можно проектировать части поверхности на координатные плоскости Оxzи Оyz. Получим два других поверхностных интеграла 2-го рода:
и 
.Рассмотрев сумму таких интегралов по одной и той же поверхности соответственно от функций P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z), получим поверхностный интеграл второго рода общего вида:
(35)Если D, D΄ и D΄΄ - проекции поверхности S на координатные плоскости Оху, Oxz и Oyz, то
(36)Связь между тройным интегралом по трехмерной области V и поверхностным интегралом 2-го рода по замкнутой поверхности S, ограничивающей тело V, задается формулой Гаусса-Остроградского:
(37)где запись «S+» означает, что интеграл, стоящий справа, вычисляется по внешней стороне поверхности S.
Формула Стокса устанавливает связь между поверхностным интегралом 1-го рода по поверхности σ и криволинейным интегралом 2-го рода по ограничивающему ее контуру λ с учетом ориентации поверхности:
(38)2.3 Геометрические и физические приложения
1) Длина кривой.
Если подынтегральная функция f(x, y, z) ≡ 1, то из определения криволинейного интеграла 1-го рода получаем, что в этом случае он равен длине кривой, по которой ведется интегрирование:
(39)2) Масса кривой.
Считая, что подынтегральная функция γ (x, y, z) определяет плотность каждой точки кривой, найдем массу кривой по формуле
(40)Пример 6.
Найти массу кривой с линейной плотностью
заданной в полярных координатах уравнением ρ = 4φ, где 
Решение.
Используем формулу (40) с учетом того, что кривая задана в полярных координатах:
3) Моменты кривой l:
- (41)- статические моменты плоской кривой l относительно осей Ох и Оу;
- (42)- момент инерции пространственной кривой относительно начала координат;
- (43)- моменты инерции кривой относительно координатных осей.
4) Координаты центра масс кривой вычисляются по формулам
. (44)5) Работа силы
, действующей на точку, движущуюся по кривой (АВ): 
, (45)Пример 7.
Вычислить работу векторного поля
вдоль отрезка прямой от точки А(-2;-3;1) до точки В(1;4;2).Решение.
Найдем канонические и параметрические уравнения прямой АВ:
6) Площадь криволинейной поверхности, уравнение которой
z = f(x, y), можно найти в виде:
(46)(Ω – проекция S на плоскость Оху).
7) Масса поверхности
(47)Пример 8.
Найти массу поверхности
с поверхностной плотностью γ = 2z2 + 3.Решение.
На рассматриваемой поверхности
Тогда 
Проекцией D этой поверхности на координатную плоскость Оху является полукольцо с границами в виде дуг концентрических окружностей радиусов 3 и 4.
Применяя формулу (47) и переходя к полярным координатам, получим:
8) Моменты поверхности:
(48) статические моменты поверхности относительно координатных плоскостей Oxy, Oxz, Oyz; 
(49)- моменты инерции поверхности относительно координатных осей;
- (50)- моменты инерции поверхности относительно координатных плоскостей;
- (51)- момент инерции поверхности относительно начала координат
9) Координаты центра масс поверхности:
. (52)Список используемой литературы
1. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Наука, 1999.
2. Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа. М.: Наука, 2000.
3. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Математический анализ. М.: Наука, 1999.
4. Смирнов В.И. Курс высшей математики.- Т.2. М.: Наука, 2005.
5. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. М.: Наука, 2001.
6. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. – Т.2. М.: Наука, 2001.
7. Сборник задач по математике для втузов. Специальные разделы математического анализа (под редекцией А.В.Ефимова и Б.П.Демидовича). – Т.2. М.: Наука, 2004.
8. Мышкис А.Д. Лекции по высшей математике. М.: Наука, 2003.
9. Титаренко В.И., Выск Н.Д. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Теория поля. М.: МАТИ, 2006.