Вектор (стр. 5 из 6)

Определение: Векторным произведением вектора

на вектор называется вектор , удовлетворяющий условиям:

1.

где φ – угол между векторами и ;

2. вектор

ортогонален вектору , вектор ортогонален вектору ;

3. упорядоченная тройка векторов

является правой.

Если один из векторов нулевой, то векторное произведение есть нулевой вектор.

Векторное произведение вектора

на вектор обозначается {либо }.

Теорема: Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов является равенство нулю их векторного произведения.

Теорема: Длина (модуль) векторного произведения двух векторов равняется площади параллелограмма, построенного на этих векторах как на сторонах.

Пример: Если

– правый ортонормированный базис, то , , .

Пример: Если

– левый ортонормированный базис, то , , .

Пример: Пусть,

а ортогонален к . Тогда получается из вектора поворотом вокруг вектора на по часовой стрелке (если смотреть из конца вектора ).

Пример: Если дан вектор

, то каждый вектор можно представить в виде суммы , где – ортогонален , а – коллинеарен . Легко видеть, что .

Действительно, можно заметить, что

. Вектор компланарен векторам и , а потому и коллинеарны. Легко видеть (рис. 12), что они одинаково направлены.

Векторное произведение обладает следующими свойствами:

1.

(антикоммутативность);

Действительно, из определения следует, что модуль векторного произведения не зависит от порядка сомножителей. Точно так же вектор

коллинеарен вектору . Однако, переставляя сомножители, мы должны изменить направление произведения, чтобы было выполнено условие 3) определения. Действительно, если , , - правая тройка, то , , - левая, а , , - снова правая тройка.

2.

;

Если φ - угол между векторами

и , то . Векторы, стоящие в обеих частях доказываемого равенства, лежат на прямой, перпендикулярной и . При λ > 0 и вектор и вектор направлены так же, как . Если λ < 0, то кратчайший поворот от к производится навстречу кратчайшему повороту от к . Поэтому и противоположно направлены. Очевидно, что противоположно направлены также и векторы и . Таким образом, при λ ≠ 0 векторы и направлены всегда одинаково, и равенство доказано. При λ = 0 равенство очевидно.

3.

;

Если

, то доказываемое очевидно. Если , то разложим и в суммы и , где и ортогональны , а и коллинеарны . Поскольку , и вектор ортогонален , а коллинеарен , нам достаточно доказать равенство и (в силу свойства 2) даже равенство , где . Длина вектора равна 1. Выше, в примере, мы видели, что в этом случае умножение на сводится к повороту (ортогонального к ) первого сомножителя на угол 90°. Но при повороте параллелограмм, построенный на и , поворачивается целиком вместе с диагональю. Тем самым равенство доказано.