Суммирование расходящихся рядов (стр. 2 из 5)
По данному числовому ряду (А) строится степенной ряд
(1)
Если этот ряд для 
сходится и его сумма 
при 
имеет предел А:
,
то число А и называют “обобщённой (в смысле Пуассона) суммой” данного ряда. Примеры.1) Ряд, рассмотренный Эйлером:
Здесь уже в силу самого определения приводит к степенному ряду, сумма которого
при стремится к пределу 
. Значит, число , действительно, является “обобщенной суммой” указанного в точном установленном здесь смысле.2) Возьмем более общий пример: тригонометрический ряд
(2)является расходящимся при всех значениях
Действительно, если
имеет вид 
, где 
и 
- натуральные числа, то для значений 
, кратных , будет 
, так что нарушено необходимое условие сходимости ряда. Если же отношение 
иррационально, то, разлагая его в бесконечную непрерывную дробь и составляя подходящие дроби 
, будем иметь, как известно, 
откуда 
Таким образом, для бесконечного множества значений
, так что 
.Это также свидетельствует о нарушении необходимого условия сходимости. Если образовать степенной ряд:
(здесь буква
заменяет прежнюю букву 
), то его сумма при значении , отличном от 0, будет 
(3)и при
стремится к 0. Таким образом, для 
“обобщенной суммой” ряда будет 0. если 
, то ряд (2), очевидно имеет сумму, равную 
; впрочем, выражение (3), которое в этом случае сводится к 
, также имеет пределом .3) Аналогично ряд
,который сходится лишь при
или 
, приводит к степенному ряду 
.Так что “обобщенная сумма" на этот раз оказывается равной
при 
и равной нулю при 
.Непосредственно ясно, что рассматриваемый метод “обобщенного суммирования” является линейным. Что же касается регулярности этого метода, то она устанавливается следующей теоремой принадлежащей Абелю.
2.2 Теорема Абеля [1]
Теорема. Если ряд (А) сходится и имеет сумму А (в обычном смысле), то для 
сходится степенной ряд (1), и его сумма стремится к пределу А, когда 
.
Доказательство. Начнем с того, что радиус сходимости ряда (1) не меньше 1, так что для ряд (1), действительно, сходится. Мы имели уже тождество
(где
); вычтем его почленно из тождества 
.Полагая
, Придем к тождеству 
(4)Так как
то по произвольно заданному 
найдется такой номер 
, что 
, лишь только 
.Разобьем сумму ряда в правой части (4) на две суммы
Вторая оценивается сразу и независимо от
: 
Что же касается первой, то она стремится к 0 при
и при достаточной близости к 1 будет 
так что окончательно
что и доказывает утверждение.Если ряд (А) суммируем по Пуассону-Абелю к сумме А, то в обычном смысле, как мы видели, он может и не иметь суммы. Иными словами из существования предела
, (5)вообще говоря, не вытекает сходимость ряда (А). Естественно возникает вопрос, какие дополнительные условия надлежит наложить на поведение членов этого ряда, чтобы из (5) можно было заключить о сходимости ряда (
), т.е. о существовании для него суммы 
в обычном смысле. Первая теорема в этом направлении была доказана Таубером.2.3 Теорема Таубера
Теорема. Пусть ряд (1) сходится при 0<x<1, и имеет место предельное равенство (5). Если члены ряда (А) таковы, что
(6)
то и 
Доказательство. Разобьем доказательство на две части. Сначала
предположим, что
Если положить 
то при 
величина 
, монотонно убывая, стремится к нулю.Имеем при любом натуральном N
так что:
Взяв произвольно малое число
, положим