О компьютерном моделировании случайных величин (стр. 1 из 3)

О компьютерном моделировании случайных величин

М.В. Кретов

1. Моделирование случайной величины, распределенной по равномерному закону

Непрерывная случайная величина

имеет равномерное распределение на отрезке , если ее функция распределения задается следующей формулой:

,

Плотность распределения вероятностей при этом имеет вид:

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины

соответственно равны [3]:

, .

Обозначим буквой

случайную величину с равномерным распределением на отрезке . Для этой случайной величины функция распределения и плотность распределения вероятностей соответственно имеют вид:

,

Если

, то вероятность

Моделировать случайную величину

можно многими способами [1].

Мы рассмотрим метод псевдослучайных последовательностей, который наиболее просто реализуется в компьютере. Для получения псевдослучайной последовательности используем алгоритм, который называется методом середины квадратов [4]. Поясним его на примере. Возьмем некоторое число

. Пусть Возведем его в квадрат: Выберем четыре средние цифры этого числа и положим Затем возводим в квадрат: и снова выбираем четыре средние цифры. Получаем Далее находим и т. д. Последовательность чисел принимают за последовательность значений случайной величины имеющей равномерное распределение на отрезке . Для оценки степени приближения последовательности к последовательности случайных чисел с равномерным распределением используют статистические критерии, например, аналогичные критерию, который используется в работе [2].

2. Моделирование последовательности независимых случайных испытаний

Пусть проводится последовательность

независимых испытаний. В результате каждого испытания может произойти одно из несовместных событий объединение которых совпадает с пространством элементарных событий . Известна вероятность появления каждого события , , которая не изменяется при переходе от одного испытания к другому. Очевидно, что .

Моделирование последовательности испытаний проводится следующим образом. Разделим отрезок

на участков длины которых соответственно равны Получаем последовательность значений случайной величины Если , то считаем, что в -м испытании наступило событие , так как

.

3. Моделирование случайной величины дискретного типа

А. Общий алгоритм моделирования.

Если случайная величина

дискретная, то ее моделирование можно свести к моделированию независимых испытаний. В самом деле, пусть имеет место следующий ряд распределения:

			…
			…

Обозначим через

событие, состоящее в том, что случайная величина примет значение , при этом . Тогда нахождение значения, принятого случайной величиной в результате испытания, сводится к определению того, какое из событий появится. Так как события несовместны и вероятность появления каждого из них не изменяется от испытания к испытанию, то для определения последовательности значений, принятых случайной величиной можно использовать алгоритм моделирования последовательности независимых испытаний.

Б. Моделирование случайной величины с биномиальным распределением.

Случайная величина

считается распределенной по биномиальному закону, если

где

; — вероятность появления некоторого события в каждом отдельно взятом испытании; — вероятность появления события в независимых испытаниях раз.

Введем случайную величину

— число появлений события в -ом испытании, Для этой величины имеет место: