Геометрические свойства кривых второго порядка (стр. 1 из 3)

Цель курсовой работы

Исследовать и изучить геометрические свойства кривых второго порядки (эллипса, гиперболы и параболы), представляющих собой линии пересечения кругового конуса с плоскостями, не проходящими через его вершины, а также научиться строить графики данных кривых в канонической и прямоугольной декартовой системах координат.

Постановка задачи

Дано уравнение кривой второго порядка:

. (1)

Задание. Для данного уравнения кривой второго порядка с параметром

:

I. Определить зависимость типа кривой от параметра

с помощью инвариантов.

II. Привести уравнение кривой при

к каноническому виду, применяя преобразования параллельного переноса и поворота координатных осей.

III. Найти фокусы, директрисы, эксцентриситет и асимптоты (если они есть) данной кривой второго порядка.

IV. Получить уравнения канонических осей в общей системе координат.

V. Построить график кривой в канонической и общей системах координат.

Получение канонической системы координат. Построение графиков

I. Тип кривой второго порядка в зависимости от параметра

В прямоугольной декартовой системе координат

кривая второго порядка задается в общем виде уравнением:

,

если хотя бы один из коэффициентов

, , отличен от нуля.

Для уравнения кривой второго порядка (1) имеем:

Теперь определим тип данной нам кривой (1) с помощью инвариантов. Инварианты кривой второго порядка вычисляются по формулам:

;

;

.

Для данной кривой они равны:

1). Если

, то уравнение кривой (1) определяет кривую параболического типа, но . Таким образом, если , то уравнение (1) определяет кривую параболического типа. При этом , то есть: если , то уравнение (1) определяет параболу.

2). Если

, то данная кривая — центральная. Следовательно, при данная кривая — центральная.

· Если

, то уравнение (1) определяет кривую эллиптического типа. Следовательно, если , то данная кривая есть кривая эллиптического типа. Но при этом . В соответствии с признаками кривых второго порядка получим: если , то уравнение (1) определяет эллипс.

· Если

, то уравнение (1) определяет кривую гиперболического типа. Следовательно, если , то уравнение (1) определяет кривую гиперболического типа.

а) Если

и , то уравнение (1) определяет две пересекающиеся прямые. Получим:

Следовательно, если

, то уравнение (1) определяет две пересекающиеся прямые.

б) Если

и , то данная кривая — гипербола. Но при всех за исключением точки . Следовательно, если , то уравнение (1) определяет гиперболу.

Используя полученные результаты, построим таблицу:

Значение параметра β
Тип кривой	Эллипс	Парабола	Гипербола	Две пересекающиеся прямые	Гипербола

II. Переход от общего уравнения кривой к каноническому

Рассмотрим теперь случай, когда

, и исследуем данное уравнение кривой второго порядка с помощью инвариантов. Из вышеприведенной таблицы видим, что при уравнение (1) определяет гиперболу и принимает вид:

(2.1)

Приведем уравнение кривой (2.1) к каноническому виду, применяя преобразования параллельного переноса и поворота координатных осей.

Мы установили, что данная кривая — центральная, поэтому используем методику приведения к каноническому виду для уравнения центральной кривой. Совершим параллельный перенос начала координат в точку

. При этом координаты произвольной точки плоскости в системе координат и координаты в новой системе координат связаны соотношениями

Подставляя эти выражения в уравнение (2.1), получим:

(2.2)

Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получим:

(2.3)

В уравнении (2.3) коэффициенты при

приравняем к нулю. Получим систему уравнений относительно

(2.4)

Решив систему (2.4), получим:

Центр кривой

имеет координаты , . Поставим найденные значения в уравнение (2.3). В новой системе координат в уравнении (2.3) коэффициенты при равны нулю и уравнение примет вид