Теория вероятности 3 (стр. 2 из 3)

- импортное определение;

- определение, принятое в российской литературе.

[править] Свойства

• F_X не убывает на всей числовой прямой.
• F_X непрерывна справа.
• .
• .

• Распределение случайной величины
  однозначно определяет функцию распределения.
• Верно и обратное: если функция F(x) удовлетворяет четырём перечисленным выше свойствам, то существует вероятностное пространство и определённая на нём случайная величина, такая что F(x) является её функцией распределения.

• По определению непрерывности справа, функция F_X имеет правый предел F_X(x + ) в любой точке
  , и он совпадает со значением функции F_X(x) в этой точке.
• В силу неубывания, функция F_X также имеет и левый предел F_X(x − ) в любой точке
  , который может не совпадать со значением функции. Таким образом, функция F_X либо непрерывна в точке, либо имеет в ней разрыв первого рода.

[править] Тождества

Из свойств вероятности следует, что

, таких что a < b:

• ;
• ;
• ;
• ;
• ;
• ;
• ;
• .

[править] Дискретные распределения

Если случайная величина X дискретна, то есть её распределение однозначно задаётся функцией вероятности

,

то функция распределения F_X этой случайной величины кусочно-постоянна и может быть записана как:

.

Эта функция непрерывна в любой точке

, такой что , и имеет разрыв, равный p_i, в x = x_i.

[править] Непрерывные распределения

Распределение

называется непрерывным, если такова его функция распределения F_X. В этом случае:

,

и

,

а следовательно формулы имеют вид:

,

где | a,b | означает любой интервал, открытый или закрытый, конечный или бесконечный.

[править] Абсолютно непрерывные распределения

Распределение

называется абсолютно непрерывным, если существует неотрицательная почти всюду (относительно меры Лебега) функция f_X(x), такая что:

.

Функция f_X называется плотностью распределения. Известно, что функция абсолютно непрерывного распределения непрерывна, и, более того, если

, то , и

.

[править] Вариации и обобщения

[править] Многомерные функции распределения

Пусть

фиксированное вероятностное пространство, и — случайный вектор. Тогда распределение является вероятностной мерой на . Функция этого распределения задаётся по определению следующим образом:

,

где

в данном случае обозначает декартово произведение множеств.

Свойства многомерных функций распределения аналогичны одномерному случаю. Также сохраняется взаимно-однозначное соответствие между распределениями на

и многомерными функциями распределения. Однако, формулы для вычисления вероятностей существенно усложняются, и потому функции распределения редко используются для n > 1.

Пусть

— случайная величина, определённая на некотором вероятностном пространстве. Тогда

где символ M обозначает математическое ожидание.

[править] Замечания

• В силу линейности математического ожидания справедлива формула:

• Дисперсия является вторым центральным моментом случайной величины;
• Дисперсия может быть бесконечной. См., например, распределение Коши.
• Дисперсия может быть вычислена с помощью производящей функции моментов U(t):

D[X] = U''(0) − U'²(0)

• Дисперсия целочисленной случайной величины может быть вычислена с помощью производящей функции последовательности.

[править] Свойства

• Дисперсия любой случайной величины неотрицательна:
  
• Если дисперсия случайной величины конечна, то конечно и её математическое ожидание;
• Если случайная величина равна константе, то её дисперсия равна нулю: D[a] = 0. Верно и обратное: если D[X] = 0, то X = M[X] почти всюду;
• Дисперсия суммы двух случайных величин равна:

, где – их ковариация;

• Для дисперсии произвольной линейной комбинации нескольких случайных величин имеет место равенство:

, где ;

• В частности, D[X₁ + ... + X_n] = D[X₁] + ... + D[X_n] для любых независимых или некоррелированных случайных величин, так как их ковариации равны нулю;
• 
• 
• 

[править] Пример

Пусть случайная величина

имеет стандартное непрерывное равномерное распределение на т. е. её плотность вероятности задана равенством

Тогда

и

Тогда

Пусть

— случайная величина, определённая на некотором вероятностном пространстве. Тогда

где символ M обозначает математическое ожидание.

[править] Замечания

• В силу линейности математического ожидания справедлива формула:

• Дисперсия является вторым центральным моментом случайной величины;
• Дисперсия может быть бесконечной. См., например, распределение Коши.
• Дисперсия может быть вычислена с помощью производящей функции моментов U(t):

D[X] = U''(0) − U'²(0)