Дифференциальные системы эквивалентные автономным системам с известным первым интегралом (стр. 2 из 4)

Возмущения дифференциальных систем, не изменяющие временных симметрий

Наряду с исходной дифференциальной системой

будем рассматривать множество возмущённых систем

где

непрерывная скалярная нечётная функция, а произвольная непрерывно дифференцируемая вектор-функция. Выясним вопрос об эквивалентности в смысле совпадения отражающих функций дифференциальных систем (1) и (2). При совпадении отражающих функций двух систем совпадают их операторы сдвига на симметричном промежутке вида и, значит, для периодических систем совпадают их отображения за период .

Как известно, отражающая функция системы (1) обязана удовлетворять соотношению

Если

вектор-функция, а

вектор-столбец, то полагаем

,

Лемма 1.

Для любых трёх вектор-функций

из которых функция дважды непрерывно дифференцируема, а функции и дифференцируемы, имеет место тождество

Лемма 2.

Пусть

отражающая функция системы с непрерывно дифференцируемой правой частью. Тогда для каждой непрерывно дифференцируемой вектор функции функция

удовлетворяет тождеству

Доказательство. Учитывая соотношение

, простыми выкладками установим тождества

К первым двум слагаемым последней части этого тождества применим тождество

. Тогда после несложных формальных преобразований придём к соотношению

Прибавим к левой и правой частям этого соотношения выражение

придём к нужному нам тождеству

Лемма доказана.

Теорема 1

Пусть вектор-функция

является решением дифференциального уравнения в частных производных

Тогда возмущённая дифференциальная система

,

где

- произвольная непрерывная скалярная нечётная функция, эквивалентна дифференциальной системе .

Доказательство. Пусть

отражающая функция системы . Следовательно, эта функция удовлетворяет дифференциальному уравнению . Покажем, что она удовлетворяет и тождеству

Для этого введём функцию

по формуле . Согласно лемме 2, эта функция удовлетворяет тождеству . При условиях доказываемой теоремы с учётом соотношения это тождество переписывается в виде

Кроме того, поскольку для всякой отражающей функции

верно тождество , имеет место соотношения

.

Таким образом, функция

является решением задачи Коши

Решение этой задачи существует и единственно. Следовательно, имеет место тождество

влекущее за собой тождество .

Теперь покажем, что отражающая функция

системы является также и отражающей функцией системы . Для этого нужно проверить выполнение основного соотношения , которое в данном случае должно быть переписано в виде

Действительно, последовательно преобразовывая левую часть последнего соотношения и учитывая нечётность функции

приходим к следующей цепочке тождеств:

Оба слагаемых, стоящих в квадратных скобках, тождественно равны нулю. Первое – в силу того, что для отражающей функции системы

верно тождество , второе – потому, что при условиях теоремы верно тождество . Следовательно, тождество выполняется и функция является отражающей функцией системы . Теорема доказана.