Собственные интегралы, зависящие от параметра (стр. 4 из 6)

Теперь сформулируем критерий Коши для равномерной сходимости для нашего случая следующим образом:

Теорема 1. (критерий Коши равномерной сходимости для НИЗП-1). Для того чтобы интеграл

сходился равномерно по переменной на промежутке , необходимо и достаточно, чтобы выполнялась цепочка

, .

Рассмотрим достаточные признаки равномерной сходимости.

Теорема 2. (признак Вейерштрасса равномерной сходимости НИЗП-1). Пусть функция

определена и непрерывна на прямоугольнике и удовлетворяет условиям:

1. непрерывна по переменной

,

2. существует функция

, что ,

3.

- сходится.

Из этого следует, что

сходится равномерно по .

Доказательство.

В соответствии с условием 3) критерия Коши о сходимости несобственных интегралов 1-го рода от функции одной переменной имеем:

(1)

Тогда при тех же

, что и в цепочке, получаем

.

А отсюда по теореме 1 следует равномерная сходимость интеграла

.

Ч. т. д.

Замечание.

При выполнении условий теоремы 2 говорят, что функция

имеет интегрируемую мажоранту или что интеграл мажорируется сходящимся интегралом .

Следствие.

Пусть выполняются следующие условия:

1. функция

определена и непрерывна по ;

2. функция

ограничена на прямоугольнике ;

3. интеграл

сходится, тогда следует, что

сходится равномерно по

.

Обозначим через

и возьмем в качестве , а в качестве функции . Тогда, исходя из теоремы 2, получим цепочку (1).

Совершенно аналогично вводится понятие равномерной сходимости несобственных интегралов второго рода (НИЗП-2).

Пусть функция

определена в области (a,b,c – конечные числа). Пусть при несобственный интеграл сходится. В этом случае будет представлять собой функцию переменной (параметра) , определенную в промежутке . Утверждение, что несобственный интеграл сходится при , означает следующее. При каждом фиксированном интеграл

(здесь ). Это значит, что для каждого из по любому можно указать такое, что при условии выполняется . Важно отметить, что число выбирается по , и для каждого оно будет своим, другими словами, зависит и от , и от : . Если же можно указать такое , зависящее только от , такое, что при выполнении условия будет верно сразу для всех , несобственный интеграл называется равномерно сходящимся относительно параметра. Короче говорят, интеграл называется равномерно сходящимся по переменной на , если он сходится при и выполняется цепочка .

Для НИЗП-2 справедливы теоремы аналогичные т.1 и т. 2.

Теорема 3. (критерий Коши равномерной сходимости НИЗП-2). Для того чтобы НИЗП-2 равномерно сходился по

необходимо и достаточно, чтобы:

, .

Теорема 4. Пусть функция

определена в области и удовлетворяет следующим условиям:

1. функция

непрерывна по , при ;