Линейное программирование 3 (стр. 2 из 2)
Это позволяет найти экстремум целевой функции задачи (d) и соответствующие ему переменные Х=(х1,х2,х3,...., хn) при условии, что эти переменные удовлетворяют системе ограничений (e) и условиям неотрицательности (f).
Допустимым решением (планом) задачи линейного программирования называется любой n-мерный вектор Х=(х1,х2,х3,...., хn),удовлетворяющий системе ограничений и условиям неотрицательности.
Множество допустимых решений (планов) задачи образует областьдопустимых решений (ОДР), Оптимальным решением (планом) задачи линейного программирования называется такое допустимое решение (план) задачи, при котором целевая функция достигает экстремума.
Так как в данном случае решается задача на экстремум, то возникает вопрос о возможности использования классических методов исследования на экстремум функции многих переменных. Первым шагом в этом направлении является использование необходимого условия экстремума функции, которое состоит в том, что частные производные функции многих переменных или равны нулю, или не существуют.
Но если все ci = 0, то и Z= 0, т.е. экстремум функции не обнаруживается. Связано это с тем, что производную можно использовать для определения экстремума только во внутренних точках области решений, а в данном случае экстремум, как будет показано ниже, находится на границах области. Отсюда и возникает необходимость разработки специальных методов поиска экстремума
Свойства задачи линейного программирования
Понятие линейного программирования. Линейное программирование—раздел математического программирования, применяемый при разработке методов отыскания экстремума линейных функций нескольких переменных при линейных дополнительных ограничениях, налагаемых на переменные. По типу решаемых задач его методы разделяются на универсальные и специальные. С помощью универсальных методов могут решаться любые задачи линейного программирования (ЗЛП). Специальные методы учитывают особенности модели задачи, ее целевой функции и системы ограничений.
Особенностью задач линейного программирования является то, что экстремума целевая функция достигает на границе области допустимых решений. Классические же методы дифференциального исчисления связаны с нахождением экстремумов функции во внутренней точке области допустимых значений. Отсюда — необходимость разработки новых методов.
Формы записи задачи линейного программирования:
Общей задачей линейного программирования называют задачу:
max(min)Z =
(1)при ограничениях:
(i=1,2….m) (2)
(i = m1+1,..., m1) (3)
(i = m2+1,..., m2) (4)
xj≤ 0 (j=1,2…..n1) (5)
xj-произвольные (j= n1+1,…..n) (6)
где сj,аij,bi;- заданные действительные числа;
(1) - целевая функция;
(2) - (6) -ограничения;
х = (х,;...;хn) –план задачи.
Свойства решений.
Пусть ЗЛП представлена в следующей записи:
mах Z = сх (7)
А1х1,+А2х2+... + Аnхn=А0 (8)
х1 ≥ 0, х2 ≥ 0,…….хn≥ 0 (9)
Чтобы задача (7) - (8) имела решение, системе её ограничений (8) должна быть совместной. Это возможно, если rэтой системы не больше числа неизвестных n. Случай r>n вообще невозможен. При r= n система имеетединственное решение, которое будет при хj≥ 0 (j=1,...,n) оптимальным. В этом случае проблема выбора оптимального решения теряет смысл. Выясним структуру координат угловой точки многогранных решений. Пусть r<n, вэтом случае система векторов А1,А2,...,Аnсодержит базис — максимальную линейно независимую подсистему векторов, через которую любой вектор системы может быть выражен как ее линейная комбинация. Базисов, может быть несколько, но не более с 
. Каждый из них состоит точно из r векторов. Переменные ЗЛП, соответствующие r векторам базиса, называют, как известно, базисными и обозначают БП. Остальные n — rпеременных будут свободными, их обозначают СП. Будем считать, что базис составляют первые m векторов А1,А2,...,Аm. Этому базису соответствуют базисные переменные х1,х2,...,хm, а свободными будут переменные хm+1,хm+2,….хn.
Если свободные переменные приравнять к нулю, а базисные переменные при этом примут неотрицательные значения, то полученное частное решение системы (8) называют опорным решением (планом).Если ЗЛП имеет решение, то целевая функция достигает экстремального значения хотя бы в одной из крайних точек многогранника решений. Если же целевая функция достигает экстремального значения более чем в одной крайней точке, то она достигает того же значения в любой точке, являющейся их выпуклой линейной комбинацией.
Задача
Зависимость доходов фирмы R и издержек I в зависимости от объёма производства xзадётся функциями следующего вида: R(x)=2/3x3 – 18x2 – 17x ; C(x)=1/3x3 – 10x2 +150. производственные мощности позволяют производить до 30 единиц продукции. При каком объёме производства прибыль максимальна?
Решение
R(x) = 2/3x3 – 18x2 – 17x
C(x) = 1/3x3 – 10x2 +150
P(x) = R(x) – C(x)
P(x) =2/3x3 – 18x2 – 17x – 1/3x3 + 10x2 –150
P(x) =1/3x3 – 8x2 – 17x –150
Решая кубическое уравнение по теореме Кордано получаем 3 значения х.
x1=27
x2= 3
x3= – 5 (не имеет экономической силы)
Ответ: 27
Список использованной литературы
1. Замков О.О., Толстопятенко А.В, Математические методы в
экономике, Дело и сервис, 2001
2. Коршунова Н.И., Плясунов В.С. Математическая экономика. М.: Вита-
Пресс, 1996
3. Пинегина М.В. Математические методы и модели в экономике. М.:
Издательство «Экзамен» 2002
4. Бережков Л.Н. Теория оптимального управления экономическими
системами. СПб.:«Знание», 2002