Власні значення і власні вектори матриці (стр. 7 из 8)

що співпадає в написаних знаках із значенням, знайденим раніше за допомогою А¹⁰у₀.

Зауваження. Методи знаходження найбільшого по модулю кореня характеристичного рівняння можна використовувати для знаходження найбільшого по модулю кореня алгебраїчного рівняння

(9)

Дійсно, рівняння (9), як легко безпосередньо перевірити, є віковим для матриці

тобто рівняння (9) еквівалентно рівнянню

Якщо рівняння (9) не має нульового кореня, то аналогічним способом може бути визначений найменший по модулю корінь цього рівняння, а саме, при

,вважаючи , одержимо:

(10)

Зворотна величина найбільшого по модулю кореня рівняння (10), очевидно, дасть нам найменший по модулю корінь рівняння (9).

Знаходження другого власного значення матриці і другого власного вектора.

Нехай власні значення

матриці А такі, що

(1)

тобто є два відмінних один від одного, найбільших по модулю власних значення

і матриці А. У такому разі прийомом, аналогічним розібраному вище (§ 11), можна приблизно знайти друге власне значення і власний вектор , що відповідає йому.

З формули (2) маємо:

(2)

І

(3)

Виключимо з формул (2) і (3) члени, що містять

. Для цього від рівності (3) віднімемо рівність (2), помножену на . В результаті одержимо:

(4)

Введемо позначення

(5)

причому вираз (5) називатимемо

- різницею від . Якщо , то очевидно, що перший доданок в правій частині рівності (4) є її головним членом при , і ми маємо наближену рівність

(6)

Звідси

(7)

Нехай

З формул (6) і (7) виводимо:

(8)

Користуючись формулою (8), можна приблизно обчислити друге власне значення

. Відмітимо, що на практиці зважаючи на втрату точності при відніманні близьких чисел іноді вигідніше номер ітерації k для визначення брати меншим, ніж номер ітерації т для визначення , тобто доцільно вважати:

(9)

де k- найменше з чисел, при якому починає позначатися переважання

над наступними власними значеннями. Формула (9), взагалі кажучи, дає грубі значення для . Відмітимо, що якщо модулі всіх власних значень різні між собою, то за допомогою формул, аналогічних формулі (9), можна обчислити і решту власних значень даної матриці. Проте результати обчислень будуть ще менш надійні.

Що стосується власного вектора

, те, як витікає з формули (6), можна покласти:

.

(10)

Є розповсюдження даного методу на випадок кратного кореня характеристичного рівняння.

Приклад. Визначити подальші власні значення і власні вектори матриці

Розв’язання. Для знаходження другого власного значення приймемо k = 8. Маємо:

45433211416 201	2028339390627 342	905238417987121 248

Складаємо

- різниці по формулі

де

. Для кожного із стовпців приймається своє значення а саме: = 4,462; = 4,456; = 4,447 (таблиця 2).

Таблиця 2

Обчислення другого власного значення

2028339390627 342	2027229420427 76	111– 298– 234	905238417987121 248	905041418445121 590	197– 458– 342

Звідси одержуємо:

Отже, приблизно можна прийняти:

В якості другого власного вектора можна прийняти:

Нормуючи цей вектор, одержимо:

Оскільки матриця А — симетрична, то вектори

і повинні бути ортогональні між собою. Перевірка дає:

Звідси

, що досить неточно.

Третє власне значення

знаходимо по сліду матриці А:

Звідси

.

Власний вектор

можна обчислити з умов ортогональності:

Звідси

Або

Після нормування остаточно отримаємо:

2.6 приклади задач, що зводяться до відшукання власних значень та власних векторів матриці