Алгебра 10 класс Мерзляк профиль (стр. 6 из 7)

Проте якщо елементи множини  розмістити у вигляді послідовності 0, 1, –1, 2, –2, 3, –3, ..., то тим самим можна кожному цілому числу надати свій номер:

0, 1, –1, 2, –2, 3, –3, ...

- - - - - - -

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...

Можна показати, що множина  є також зліченною.

Зазначимо, що не будьяка нескінченна множина є зліченною. Можна довести, що, наприклад, множина  не є зліченною.

62.° Установіть взаємно однозначну відповідність між множиною натуральних чисел і множиною натуральних чисел, кратних 3.

63.° Установіть взаємно однозначну відповідність між множиною натуральних чисел і множиною чисел виду 4n + 1 (n ∈ ).

64.° Доведіть, що множини парних і непарних натуральних чисел рівнопотужні.

65.° Доведіть, що множина чисел виду 2ⁿ (n ∈ ) зліченна.

Коли зроблено уроки

66.° Доведіть, що множина чисел виду ¹ (n ∈ ) зліченна. n

67.° Установіть взаємно однозначну відповідність між множиною чисел виду 2ⁿ (n ∈ ) і множиною десяткових дробів виду 0,1; 0,01; 0,001; ... .

68.^• Покажіть, що множини точок сторони і діагоналі квадрата рівнопотужні.

69.^• Покажіть, що множини точок будьяких двох концентричних кіл рівнопотужні.

70.^•• Покажіть, що множина точок прямої і множина точок кола з «виколотою» точкою рівнопотужні.

71.^•• На координатній прямій позначили точки O (0), A (1), B (5). Доведіть, що:

1) множина точок відрізка OA рівнопотужна множині точок відрізка OB;

2) множина точок відрізка OA з «виколотою» точкою O рівнопотужна множині точок променя AB.

72.^•• Покажіть, що множини точок будьяких двох відрізків рівнопотужні.

«я бачу це, але ніяк не можу цьому повірити!»

Ці слова належать видатному математику, засновнику теорії множин Георгу Кантору. Вони свідчать про те, що навіть генію часом буває складно примирити свою інтуїцію з формальним результатом.

Мабуть, і ви зазнавали подібного дискомфорту, коли логіка міркувань вимушувала вас погодитися з тим, що на будьякому, навіть дуже маленькому, відрізку стільки ж точок, скільки їх на всій прямій.

А чи можна повірити в те, що множина точок квадрата рівнопотужна множині точок його сторони? Мабуть, ні. Цьому не вірив і сам великий Кантор.

У 1874 р. в одному зі своїх листів до видатного математика Р. Дедекінда (1831–

1916) Кантор писав: «Чи можна зіставити поверхню (наприклад, квадратну площадку,

Георг Кантор (1845–1918)

26 27 включаючи її межі) з відрізком прямої таким чином, щоб кожній точці поверхні відповідала одна точка на цьому відрізку, і навпаки?»

Кантор думав, що відповідь має бути негативною, і намагався це довести протягом трьох років. Проте в 1877 р. він отримує несподіваний результат: будує взаємно однозначну відповідність між множиною точок квадрата і множиною точок його сторони.

Ознайомимося з ідеєю доведення Кантора. Розглянемо на координатній площині квадрат з вершинами

A (0; 0), B (0; 1), C (1; 1), D (1; 0) (рис. 15).

Нехай точка M (x; y) належить квадрату. Координати x і y задовольняють нерівності 0 m x m 1 і 0 m y m 1. Тому числа x і y можна подати у вигляді нескінченних десяткових дробів:

x = 0,α₁α₂α₃ ..., y = 0,β₁β₂β₃ ... .

Зауважимо, що коли x = 1 або y = 1,

Рис. 15 то координату можна записати у вигляді дробу 0,999... .

За допомогою цих записів сконструюємо новий десятковий дріб, «перемішуючи» цифри десяткового запису чисел x і y через одну:

z = 0,α₁β₁α₂β₂α₃β₃ ... .

Точці M (x; y) поставимо у відповідність точку K (z; 0). Очевидно, що ця точка належить стороні AD квадрата.

Зрозуміло, що різні точки квадрата мають різні координати. Тому при зазначеній відповідності різним точкам квадрата відповідають різні точки його сторони AD^[1].

Після викладеного ви, мабуть, уже не дивуватиметесь тому, що, наприклад, множина точок куба рівнопотужна множині точок його ребра.

Множини, рівнопотужні множині точок відрізка, називають множинами потужності континууму (від латинського continuum — неперервний).

28

§ 2. Функції, многочлени, рівняння і нерівності

5.

Повторення та розширення відомостей про функцію

У повсякденному житті нам часто доводиться спостерігати процеси, у яких зміна однієї величини (незалежної змінної) призводить до зміни іншої величини (залежної змінної). Вивчення цих процесів потребує створення їх математичних моделей. Однією з таких найважливіших моделей є функція.

З цим поняттям ви ознайомилися в 7 класі. Нагадаємо й уточнимо основні відомості.

Нехай X — множина значень незалежної змінної, Y — множина значень залежної змінної. Функція — це правило, за допомогою якого за кожним значенням незалежної змінної з множини X можна знайти єдине значення залежної змінної з множини Y.

Зазвичай незалежну змінну позначають буквою x, залежну — буквою y, функцію (правило) — буквою f. Кажуть, що змінна y функціонально залежить від змінної x. Цей факт позначають так: y = f (x).

Незалежну змінну ще називають аргументом функції.

Множину значень, яких набуває аргумент, тобто множину X, називають областю визначення функції і позначають D (f) або D (y).

Так, областю визначення оберненої пропорційності y= ² x

є множина (–∞; 0) c (0; +∞). Також можна записати D (y) =

= {x ∈  | x ≠ 0 }.

У функціональній залежності кожному значенню аргументу x відповідає певне значення залежної змінної y. Значення залежної змінної ще називають значенням функції і для функції f позначають f (x). Множину значень, яких набуває залежна змінна y, тобто множину Y, називають областю значень функції і позначають E (f) або E (y). Так, областю значень функції y= x є множина [0; +∞).

Елементами множин D (f) і E (f) можуть бути об’єкти найрізноманітнішої природи.

Так, якщо кожному многокутнику поставити у відповідність його площу, то можна говорити про функцію, область визначення якої — множина многокутників, а область значень — множина додатних чисел.

Якщо кожній людині поставити у відповідність день тижня, у який вона народилася, то можна говорити про функцію, область

30

5. Повторення та розширення відомостей про функцію

визначення якої — множина людей, а область значень — множина днів тижня.

Коли D (f) ⊂  і E (f) ⊂ , функцію f називають числовою.

Якщо областю визначення функції f є множина X, а областю значень — множина Y, то функцію f також називають відображенням множини X на множину Y. Слова «відображення» і «функція» є синонімами. Проте термін «відображення» частіше використовують тоді, коли при заданні функції хочуть наголосити, які множини є областю визначення і областю значень.

На рисунку 16 проілюстровано відображення множини X на множину Y (точками позначено елементи множин).

а) б) в)

Рис. 16

Відображення f принципово відрізняється від відображень g і ϕ (рис. 16): у відображенні f кожний елемент множини Y є відповідним деякому єдиному елементу множини X. Таке відображення називають взаємно однозначним відображенням множини X на множину Y. Наприклад, нумерація елементів деякої зліченної множини M — це взаємно однозначне відображення множини  на множину M.

Функцію вважають заданою, якщо вказано її область визначення і правило, за яким за кожним значенням незалежної змінної з області визначення можна знайти значення залежної змінної з області значень.

Функцію можна задати одним з таких способів:

• описово;

• за допомогою формули; • за допомогою таблиці;

• графічно.

Розглянемо кілька прикладів функцій, заданих описово.

- Кожному раціональному числу поставимо у відповідність число 1, а кожному ірраціональному — число 0. Функцію, задану таким чином, називають функцією Діріхле і позначають

y = D (x). Пишуть: ^{( )x} =^10,, якщоякщо xx∈∉,.

^D

31

§ 2. Функції, многочлени, рівняння і нерівності

Тут D (y) = , E (y) = {0, 1}.

-

Кожному дійсному числу x поставимо у відповідність найбільше ціле число, яке не перевищує число x. Таку функцію називають цілою частиною числа x і позначають y = [x]. Наприклад, [ 2]=1, [2] = 2, [− 2]=−2. Тут D (y) = , E (y) = .