Динамические линейные модели экономики модель динамического межотраслевого баланса и модель Ней (стр. 2 из 3)
(1)Межотраслевые потоки капитальных вложений относятся к периоду
(t-1,t). Динамика задается дополнительными соотношениями:
(2)Экономический смысл коэффициентов ϕij = Кij /ΔХj следующий: они
показывают, какое количество продукции i-й отрасли должно быть вложено в
j-ю отрасль для увеличения выпуска ее продукции на единицу в
рассматриваемых единицах измерения. Коэффициенты ϕij называются
коэффициентами капитальных вложений или коэффициентами приростной
фондоемкости. Систему уравнений (1) с учетом (2) можно записать как:
(3)Представим (3) в матричном виде:
(4)Из (4) следует, что
(5)Модель (3) называется дискретной динамической моделью межотраслевого баланса Леонтьева. Система уравнений (3) представляет собой систему линейных разностных уравнений 1-го порядка. Для исследования данной модели надо задать в начальный момент времени векторы X(0) и Y(t) для t = 1, 2, …, T. Решением модели будут значения векторов X(t), K(t), t = 1, 2, …, T.
Условием разрешимости системы (3) относительно вектора Х(t) является требование det (E − A − Ф) ≠ 0
В данной модели предполагается, что прирост продукции в периоде
(t – 1, t) обусловлен капиталовложениями, произведенными в том же периоде.
Для коротких периодов это предположение нереально, т.к. существуют
отставания во времени (временные лаги) между вложением средств в
производственные фонды и приростом выпуска продукции. Модели,
учитывающие лаги капитальных вложений, образуют особую группу
динамических моделей межотраслевого баланса.
Если перейти к непрерывному времени, то уравнения (3) перепишутся в виде системы дифференциальных уравнений 1-го порядка с постоянными коэффициентами:
(6)Для ее решения помимо матриц коэффициентов текущих прямых
материальных затрат A = (aij) и коэффициентов капитальных затрат Ф = (ϕij)
необходимо знать уровни валового выпуска в начальный момент времени
t = 0 (x(0)) и закон изменения величин конечного продукта y(t) на отрезке [0,T].
Решением системы уравнений (6) будут значения вектор-функции x(t)
на отрезке [0, T]. Условием разрешимости системы (6) является det Ф ≠ 0 .
Более общей динамической межотраслевой моделью является модель,
учитывающая производственные мощности отраслей. Она представлена ниже в виде следующих соотношений:
(7) 
(8) 
(9) 
(10) 
Состояние экономики в году t характеризуется в динамике следующими
переменными:
Хt – вектор-столбец валовых выпусков отраслей;
vt –вектор ввода отраслевых мощностей;
γ − диагональная матрица выбытия мощностей;
x t– вектор-столбец отраслевых мощностей (максимально возможных выпусков);
lt =(l1, l2,..., ln)t вектор трудоемкости отраслевых производств, может зависеть от времени;
Lt – объем трудовых ресурсов в экономике.
Время в модели дискретно и изменяется через промежутки, равные году
(t = 1, 2, …, T). Коэффициенты матрицы прямых затрат А = ║аij║ и матрицы
капиталоемкости прироста производственных мощностей Ф = ║фij║ могут
зависеть от времени. Экзогенно заданы вектор-функция Yt и числовая функция Lt. Решением модели являются векторы Хt и x t, удовлетворяющие системе неравенств (7)-(10).
Неравенства (7) показывают, что вектор валового продукта Xt должен
обеспечивать текущие производственные затраты AХt, затраты продукции на
ввод производственных мощностей ФVt и на непроизводственное потребление Yt. Неравенства (8) ограничивают валовые выпуски отраслей наличными мощностями, неравенства (9) представляют собой отраслевые балансы изменения производственных мощностей с учетом их выбытия и ввода, неравенства (10) показывают, что общая занятость ограничена имеющимися трудовыми ресурсами.
1. 2. Построение динамической модели Леонтьева
Определим величины, характеризующие изменения валового выпуска 5 отраслей по 7 временным интервалам.
| Рыбная | -25056 | -46023 | -27579 | -9222 | 18357 | -22098 | -79866 |
| Логистика | 101607 | -1499 | 56461 | 8932 | 226650 | -181033 | -583399 |
| Судоремонтная | -7076 | 29510 | 9728 | 55934 | -35028 | 15280 | -432869 |
| Пищевая | 10100 | 11822 | 39809 | -54373 | 12350 | 35889 | -532456 |
| Машино и приборо-строение | 11706 | 2156 | 16085 | -97206 | 36989 | 9201 | -543768 |
Теперь воспроизведем матрицу D. Коэффициент dijматрицы D равен количеству продукции отрасли i, необходимой для увеличения на единицу (в стоимостном выражении) фонда отрасли j. Коэффициенты dijименуются коэффициентами капиталоемкости приростов ОПФ.
| Производство продукции, B | Потребление продукции | Конечная продукция Y | Валовой выпуск | ||||
| Рыбная | Логистика | Судоремонтная | Пищевая | Машино и приборо-строение | |||
| Рыбная | 1 | 5,5 | 1,5 | 5 | 6 | 56700 | 101964 |
| Логистика | 6 | 1 | 5 | 4,5 | 3 | 56430 | 204324 |
| Судоремонтная | 4,5 | 5 | 1 | 6 | 6 | 390860 | 508326 |
| Пищевая | 5 | 5 | 5 | 1 | 6 | 787890 | 1289754 |
| Машино и приборо-строение | 4 | 4 | 5 | 4 | 1 | 323630 | 734563 |
| Отрасль |  при t=1 |
| Рыбная | -25056 |
| Логистика | 101607 |
| Судоремонтная | -7076 |
| Пищевая | 10100 |
| Машино и приборо-строение | 11706 |
Построим матрицу К коэффициентов капитальных затрат или капитальных коэффициентов.
| Производство продукции, B | Потребление продукции | Конечная продукция Y | Валовый выпуск | ||||
| Рыбная | Логистика | Судоремонтная | Пищевая | Машино и приборо-строение | |||
| Рыбная | 0,8 | 4,4 | 1,2 | 4 | 4,8 | 56700 | 101964 |
| Логистика | 4,8 | 0,8 | 4 | 3,6 | 2,4 | 56430 | 204324 |
| Судоремонтная | 3,6 | 4 | 0,8 | 4,8 | 4,8 | 390860 | 508326 |
| Пищевая | 4 | 4 | 4 | 0,8 | 4,8 | 787890 | 1289754 |
| Машино и приборо-строение | 3,2 | 3,2 | 4 | 3,2 | 0,8 | 323630 | 734563 |
Теперь определим
| Отрасль | при t=1 |
| Рыбная | 5,151*10^5 |
| Логистика | -2,833*10^3 |
| Судоремонтная | 4,152*10^5 |
| Пищевая | 3,422*10^5 |
| Машино и приборо-строение | 2,583*10^5 |
Пусть Ф0 =0,
| Отрасль | Ф при t=1 |
| Рыбная | -20044,8 |
| Логистика | 81285,6 |
| Судоремонтная | -5660,8 |
| Пищевая | 8080 |
| Машино и приборо-строение | 9364,8 |
(Матрица А — матрица прямых затрат) | Отрасль | y при t=1 |
| Рыбная | -3,601*10^4 |
| Логистика | 7,575*10^4 |
| Судоремонтная | 2,697*10^3 |
| Пищевая | 1,824*10^4 |
| Машино и приборо-строение | -8,428*10^3 |
Итак, мы имеем первый вектор
| Отрасль | x при t=1 | Ф при t=1 | y при t=1 |
| Рыбная | 191487 | -20044,8 | -3,601*10^4 |
| Логистика | 372281 | 81285,6 | 7,575*10^4 |
| Судоремонтная | 364521 | -5660,8 | 2,697*10^3 |
| Пищевая | 476859 | 8080 | 1,824*10^4 |
| Машино и приборо-строение | 564837 | 9364,8 | -8,428*10^3 |
Аналогичным образом получаются таблицы для t = 2, 3, 4, 5, 6.
| Отрасль | x при t=2 | Ф при t=2 | y при t=2 |
| Рыбная | 166431 | -56863,2 | -6,808*10^4 |
| Логистика | 473888 | 80086,4 | -6,632*10^3 |
| Судоремонтная | 357445 | 17947,2 | 2,495*10^4 |
| Пищевая | 486959 | 17537,6 | 2,816*10^4 |
| Машино и приборо-строение | 576543 | 11089,6 | 5,698*10^3 |
| Отрасль | x при t=3 | Ф при t=3 | y при t=3 |
| Рыбная | 120408 | -78926,4 | -4,702*10^4 |
| Логистика | 472389 | 125255,2 | 2,757*10^4 |
| Судоремонтная | 386955 | 25729,6 | 8,966*10^3 |
| Пищевая | 498781 | 49384,8 | 3,867*10^4 |
| Машино и приборо-строение | 578699 | 23957,6 | -3,451*10^3 |
| Отрасль | x при t=4 | Ф при t=4 | y при t=4 |
| Рыбная | 92829 | -86304 | -4,489*10^4 |
| Логистика | 528850 | 132400,8 | 5,323*10^4 |
| Судоремонтная | 396683 | 70476,8 | 3,166*10^4 |
| Пищевая | 538590 | 5886,4 | -3,038*10^4 |
| Машино и приборо-строение | 594784 | -53807,2 | -6,271*10^4 |
| Отрасль | x при t=5 | Ф при t=5 | y при t=5 |
| Рыбная | 83607 | -71618,4 | 8,141*10^3 |
| Логистика | 537782 | 313720,8 | 1,671*10^5 |
| Судоремонтная | 452617 | 42454,4 | -2,388*10^4 |
| Пищевая | 484217 | 15766,4 | -2,626*10^3 |
| Машино и приборо-строение | 497578 | -24216 | -2,208*10^4 |
| Отрасль | x при t=6 | Ф при t=6 | y при t=6 |
| Рыбная | 101964 | -89296,8 | -9,557*10^3 |
| Логистика | 764432 | 168894,4 | -1,595*10^5 |
| Судоремонтная | 417589 | 54678,4 | 1,239*10^4 |
| Пищевая | 496567 | 44477,6 | 3,563*10^4 |
| Машино и приборо-строение | 534567 | -16855,2 | 3,836*10^4 |